Capacitación on line

Muestreo de Medias: ejercicios

2011-06-06T00:02:00.007-03:00

Realizaremos un ejercicio con los datos del post anterior. El tamaño de la población es N=250, el tamaño de la muestra es n=6 , la media de la población es 3, 8 y la desviación típica de la población es o,45.
Calcular la media, la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

La media del muestreo de medias, es igual a la media poblacional:

La desviación típica del muestreo de medias, es igual a la desviación típica de la población dividido la raíz cuadrada del tamaño de muestra:

Y la varianza del muestreo de medias la calculamos elevando al cuadrado la desviación típica:

Ejercicios:muestreo-muestras

2011-06-01T00:30:00.002-03:00

Ejercicios.
1) Una población de tamaño N =250 , tiene una media de 3,8 y una desviación típica de 0, 45. Se toman muestras de tamaño n=6.
Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

2) La prevalencia de cierta enfermedad en una población es del 14%. Se toman muestras de tamaño 36. Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución del muestreo de proporciones.

3) Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una media, si se quiere una seguridad del 99%, y se conoce la desviación típica poblacional de 27. El error máximo que se puede cometer , no supera 4,6.

4) Calcular el tamaño de muestra de una proporción para que la seguridad de la estimación sea del 90%.El error no puede superar 0,24.

Tamaño de Muestra: ejercicio

2011-05-26T12:59:00.001-03:00

Ejercicio:
Calcular el tamaño de muestra "n" necesario para estimar una media poblacional, si se quiere una seguridad del 95% (o nivel de significación del 5%) , una desviación típica poblacional de 150, y un error no mayor a 30.
La fórmula a utilizar es la siguiente:

Sustituyendo los valores indicados en el ejercicio, y recordando que para un nivel de significación del 5%, el valor de Z de la distribución Normal es 1,96 el tamaño de muestra nos da 96,04.

Siempre se redondea hacia arriba. Indicando que el tamaño de muestra debe ser mayor o igual que determinada cantidad.Si queremos disminuir el error a cometer, por ejemplo que sea la mitad del anterior:15
El tamaño de muestra debe ser de:

O sea que para reducir a la mitad el error a cometer al realizar el estudio, se debe aumentar significativamente el tamaño de la muestra en cuestión.

En este caso nos da una muestra 4 veces mayor.

Tamaño de Muestra para Medias

2011-05-21T22:33:00.002-03:00

Determinar el tamaño de muestra "n" adecuado al hacer un estudio estadístico es muy importante. El tamaño de muestra difiere según que es el estudio que se realize sea de medias o de proporciones.

Para estimar el tamaño de muestra de medias se debe emplear la siguiente fórmula:n=tamaño de muestra

Z=valor de la distribución Normal

O=desviación típica de la población

e=error muestral.

Los valores de la distribución Normal dependen de los valores del nivel de significación que se quieran utilizar.

Por ejemplo:

Si el valor de significación es 1% , el valor de Z=2,58

Si el valor de significación es 5% , el valor de Z=1,96.

Si el valor de significación es 10%, el valor de Z=1,645.

Distribución Exponencial: ejercicio

2011-05-14T22:20:00.012-03:00

Ejercicio:

El tiempo que tarda un tren en llegar a cierta estación puede modelarse por la distribución de probabilidad exponencial.

El parámetro es :

Calcularemos la probabilidad de que el tren tarde en llegar menos de 3 minutos:

Para ello aplicamos la fórmula de la función de distribución, con parámetro lambda igual a 0,2.

Realizamos cálculos
Y la probabilidad nos da 0, 4512.

Recordamos que la probabilidad siempre es un número que varía entre cero y uno.

Distribución de Probabilidad Exponencial: ejercicio

2011-05-04T12:58:00.000-03:00

La variable aleatoria de la distribución de probabilidad exponencial indica el tiempo de espera hasta que se produce determinado suceso.

Supongamos que lo que tarda un tren en llegar a cierta estación se puede modelar por esta distribución y su parámetro es :

Calculamos la esperanza, o media:
Y la varianza:

Muestreo de Medias

2011-04-20T23:16:00.001-03:00

Ejercicio:

1)Una población de N= 1200 objetos de metal, tienen una media de 23Kg. y una desviación típica de 6,8Kg.

Se realiza un muestreo, y se sacan muestras de tamaño n=34. Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

Según las fórmulas del muestreo con reposición:

Con los datos del ejercicio, los cálculos quedan de la siguiente manera:

Muestreo de Proporciones

2011-04-11T10:57:00.002-03:00

La relación entre una muestra y la población de la cual fue extraida , se llama teoría de muestreo. El muestreo puede ser de "medias" o de "proporciones".

En el muestreo de proporciones, la población tiene una proporción poblacional (P); la muestra tiene una proporción muestral(p) y un tamaño de muestra(n).

El muestreo de proporciones proviene de la distribución Binomial, donde p+q=1.

Las fórmulas para la media y la desviación típica de la proporción muestral son las siguientes:

Esto indica que la media de la proporción muestral, es igual a la proporción poblacional.

La desviación típica de la proporción muestral , es igual a la raiz cuadrada de P*Q/n.

Por eso recordamos que proviene de la distribución Binomial,para realizar el cálculo de Q.

Teoría de Muestreo

2011-04-02T17:19:00.002-03:00

La teoría de muestreo estudia la relación que hay entre una población y las muestras tomadas de ella.

Supongamos que tenemos una población de tamaño "N", y tomamos muestras de tamaño "n".

La población tendrá una media, una desviación típica y una varianza. A su vez las muestras también tendrán una media, una desviación típica y una varianza.
Si consideramos el estadístico "media muestral", también tendrá una media , una desviación típica y una varianza, que guardarán relación con los parámetros de la población de la cual fueron extraídas las muestras.

Si el muestreo se hace con reposición las fórmulas son las siguientes:

Cuando el muestreo es sin reposición se debe agregar al "factor de corrección para poblacíón finita", que involucra el tamaño de población (N) y el tamaño de muestra (n).

Pero en esencia los cálculos son muy similares.

Muestreo Estratificado

2011-03-20T23:24:00.003-03:00

Muestreo Estratificado:
Este muestreo se realiza cuando los elementos de la población se dividen en clases o estratos. Los elementos deben ser heterógeneos respecto a la variable que se está estudiando. Es un tipo de muestreo muy usado cuanto más diferentes sean los estratos entre sí, y cuanto más homogéneos sean los elementos al interior del estrato.
Si suceden esas condiciones este tipo de muestreo se prefiere al Muestreo Aleatorio Simple.

El problema principal surge de dividir el tamaño de la muestra entre los estratos, o sea cuantos elementos de cada estrato debe contener la muestra en cuestión.

Para ello se puede distribuir los elementos en la muestra según el tamaño relativo del estrato. O sea que los estratos más grandes contribuyen con más elementos , y de los estratos más pequeños se obtienen menos elementos para formar la muestra.

Muestreo Sistemático

2011-03-10T12:31:00.002-02:00

El muestreo sistemático se utiliza cuando los datos o elementos de la población están ordenados en listas.

Para realizar este muestreo se selecciona un elemento al azar entre el primer elemento y el que ocupa un lugar en la lista menor o igual al factor de elevación, y luego se completa la lista sumando el factor de elevación al primer elemento obtenido. Este procedimiento se realiza hasta completar el tamaño muestral.

Ejemplo:

N= 1000(tamaño de población) n=5(tamaño de muestra)

Factor de elevación :N/n=1000/5=20 esto significa que cada elemento de la muestra representa a 20 elementos de la población.

Podemos elegir un número al azar: 35 y luego al ir sumando 20 obtenemos los lugares de los 5 elementos que componen la muestra.

Primer elemento de la muestra: 35

Segundo elemento de la muestra: 35+20

Tercer elemento de la muestra: 35+20+20

Cuarto elemento de la muestra: 35+20+20+20

Quinto elemento de la muestra: 35+20+20+20+20

Entonces formamos la muestra con 5 elementos de la población que ocupan los lugares:

35, 55, 75, 95, 115.

Este muestreo es muy sencillo y similar al muestreo aleatorio simple. Tiene el inconveniente de que si los elementos de la población están ordenados según algún criterio, se puede originar un sesgo de selección.

Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.)

2011-02-08T12:34:00.002-02:00

Diseños de Muestreo se le llama al conjunto de técnicas para seleccionar una muestra probabilística.

Los diseños pueden ser variados, muestreo estratificado, muestreo sistemático, muestreo por conglomerados y muestreo aleatorio simple.

El muestreo aleatorio simple, es aquél que tiene estas dos condiciones:

a) cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. Con esta condición se está evitando el riesgo del sesgo de selección.

b) los elementos se seleccionan de uno en uno y con reposición, lo que asegura que la población permanece igual en todas las extraciones.

Que la extracción de la muestra se realice con o sin reposición pierde importancia cuando el tamaño de la población es muy grande (N) con respecto al tamaño de la muestra (n).

Este procedimiento de muestreo es recomendado cuando todos los elementos de la población son muy similares o son sustituibles o intercambiables unos con otros.

Población y Muestra: conceptos

2011-02-03T22:26:00.001-02:00

POBLACIÓN: es el conjunto objeto de estudio.

Puede estar compuesto por personas , objetos o animales. Es un conjunto grande , numeroso, del cual se quiere extraer algunas conclusiones.

A todo lo que se estudia en la población se le llama "parámetros". Para conocer con exactitud los valores de los parámetros poblacionales, hay que hacer un censo.

Muchas veces esto no es posible, ya sea porque debido al tamaño de la población , económicamente resulta muy costoso. O también porque analizar cada elemento de la población puede resultar en la destrucción de alguno, o algunos de ellos. O incluso por el tiempo insumido en el análisis exaustivo de cada elemento , que puede llevar a que cambie la característica del elemento estudiado a lo largo del análisis de cada elemento.

MUESTRA: es un subconjunto de la población. Es un conjunto pequeño pero representativo de todos los elementos que hay en la población.

Todo lo que se estudia en la muestra se llama "estadístico" . Para que el estudio realizado sea confiable, la muestra tiene que estar bien sacada.

Todos los elementos importantes de la población deben estar representados en la muestra; sino el estudio que se realiza no tendrá validez.

Si la muestra no es representativa, se dice que está sesgada. Los sesgos en el muestreo pueden ser.

a) sesgos de no respuesta: es cuando las personas simpatizantes de una misma idea o concepto, no responden.

b) sesgos de selección: es cuando algunos elementos de la población tienen mayor probabilidad de estar en la muestra, que otros elementos.

En ambos casos la muestra no sería representativa, y los resultados de la investigación estadística, no serían confiables.

Para extraer la muestra hay varios procedimientos:

a) Muestreo Aleatorio Simple.

b) Muestreo Sistemático

c) Muestreo Estratificado.

d) Muestreo por Conglomerados.

La estadística descriptiva estudia la muestra. La estadística inferencial estudia la población

Ejercicio: agrupar datos en intervalos

2011-01-20T12:01:00.000-02:00

Siguiendo con el ejemplo anterior, agruparemos los siguientes datos, en intervalos:

2,2,2,10,10,10,8,8,8,4,4,4,6,6,6,6,7,7,14,14, n=20

Lo primero es determinar la cantidad de intervalos. Utilizaremos las dos opciones que tenemos:

A)Raiz de "n".

Aproximando nos daría 5 intervalos:

B)Fórmula de Sturges.

Aproximando, también nos da 5 intervalos:

Ahora hallaremos la amplitud de los intervalos:

La amplitud, si puede ser un número decimal. En este caso resolvimos aproximar a 2,5.
Por lo tanto comenzamos con el valor más pequeño: 2 y luego le vamos sumando 2,5 para obtener el límite superior del intervalo. Así continuamos hasta completar los 5 intervalos en los que agrupamos a la variable.

Para realizar la tabla de frecuencias contamos cuantas observaciones caen dentro de cada intervalo.

Y quedó pronto el ejercicio, para comenzar con los cálculos de las medidas de resumen de la variable en estudio.

Agrupar Datos en Intervalos

2011-01-10T12:45:00.001-02:00

En este post indicaremos como agrupar los datos originales, que hemos recogido de las encuestas.

Sería el caso por ejemplo de tener las siguientes observaciones:

2,2,2, 10,10,10,8,8,8,4,4,4,6,6,6,6, 7,7,14,14

1) Lo primero es hallar la cantidad de intervalos en los que vamos a agrupar los valores. Para ello tenemos dos alternativas:

a) número de intervalos:

b) número de intervalos:

2) Debemos hallar la amplitud o rango de los intervalos hallados:

La fórmula a utilizar es la siguiente:

Una vez que tenemos resuelto el número de intervalos en el que vamos a agrupar los datos, usamos ese valor para el denominador de la fórmula de la amplitud de los intervalos.

Recordar: que el número de intervalos no puede ser un número decimal. Siempre debe ser un número entero. En cambio la amplitud sí puede ser número decimal.

Con la práctica vamos viendo como aproximar los números para que ninguna observación quede fuera del rango total de los intervalos.

Distribución de Probabilidad Exponencial

2010-12-04T21:45:00.001-02:00

La distribución de probabilidad EXPONENCIAL, tiene la variable aleatoria "X" que expresa el tiempo de espera hasta que se produce cierto suceso.

La función de densidad es la siguiente:

Tiene un solo parámetro: lambda, que a su vez está en la media y en la varianza.

Importante: la exponencial no tiene memoria.

Significa que si queremos calcular la probabilidad de que una máquina esté funcionando "x" cantidad de horas, será lo mismo que si calculamos la probabilidad de que la máquina funcione "x" cantidad de horas sabiendo que ya estuvo funcionando "y" cantidad de horas.

La media de la distribución Exponencial es:

La varianza de la distribución Exponencial es:

Y como siempre, si queremos la desviación típica o estándar, basta con calcular la raíz cuadrada de la varianza.

Ejercicios: Distribución Hipergeométrica

2010-11-18T23:30:00.001-02:00

Ejercicio:
En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.
¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?
Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:
N=tamaño de población =20
n=tamaño de muestra=12
A=éxitos en la población=rosas=8
k=éxitos en la muestra=rosas=3

Sustituimos los valores en la fórmula general:

Realizando cálculos , obtenemos:

Distribución de probabilidad Hipergeométrica

2010-11-03T10:47:00.002-02:00

La distribución de probabilidad HIPERGEOMÉTRICA es para variables discretas.

Es muy parecida a la distribución Binomial. Tenemos un experimento con dos sucesos , pero la muestra se toma sin reposición, y la población es finita.

Por lo tanto la probabilidad de "éxito" en una observación queda afectada por los resultados de las observaciones previas.

La función de cuantía es :

Donde:

N=tamaño de la población

n= tamaño de la muestra

A= éxitos en la población

k= éxitos en la muestra.

La fórmula de cálculo de la media es:

La fórmula de cálculo de la varianza es la siguiente:

Recordemos que si queremos hallar la desviación típica o estándar simplemente calculamos la raíz cuadrada de la varianza.

Distribución Geométrica: ejercicio

2010-10-16T23:13:00.000-02:00

Ejercicio:

Realizamos el experimento aleatorio de "tirar una moneda", y concideramos "éxito" que salga "cara". Pero queremos que salga "cara" en la séptima tirada, por primera y única vez.

Este experimento se modela por la distribución de Probabilidad Geométrica.

Esta distribución es un caso particular de la Distribución Binomial, pues se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza el experimento.

La probabilidad de que salga cara es p=1/2 , la probabilidad de fracaso también q=1/2.

Calcularemos también la varianza:

Y la esperanza o media:

Distribucion de probabilidad Geométrica

2010-10-09T01:23:00.001-02:00

La distribución de probabilidad GEOMÉTRICA es para variables discretas.

El experimento aleatorio tiene dos sucesos, al igual que la distribución Binomial. Un suceso es llamado "éxito", y el otro suceso se llama "fracaso".

Se realiza el experimento "n" veces, y se quiere que el "éxito" ocurra unicamente (primera y única vez) la última vez que se realiza el experimento.

La función de cuantía es la siguiente:

x=es el número de repeticiones del experimento hasta que ocurra un éxito.
Debe ser el único éxito, y debe ser la primera vez que ocurre el éxito.
p=probabilidad de éxito.
q= probabilidad de fracaso.

La fórmula para la media de la distribución es :

La varianza de la distribución Geométrica es:

Gráfico Circular

2010-10-02T05:48:00.001-03:00

Aquí tenemos otro gráfico circular.
Le hemos dado mayor grosor al círculo, y además hemos esfumado el fondo rojizo.

Otro detalle: el título está subrayado. Sin duda MSExcel nos permite muchos cambios y combinaciones para resaltar los gráficos.
A practicar! Elige tus formatos y tus colores!

Variables nominal y su gráfica.

2010-09-25T13:39:00.003-03:00

La variable cualitativa nominal se acompaña de una gráfica circular.

Generalmente se grafican las frecuencias porcentuales, en una gráfica circular llamada "pastel" o "torta".

Distribución de Frecuencias y Variables estadísticas.

2010-09-15T23:19:00.001-03:00

Las distribuciones de frecuencias pueden ser:

1) Absolutas: es la cantidad de observaciones para cada valor de la variable.
2) Relativas: es la cantidad de observaciones para cada valor de la variable en relación al total de observaciones.
3) Acumuladas: se pueden acumular tanto las frecuencias relativas como las absolutas.
4) Porcentuales: se multiplican por 100 las frecuencias relativas, simples o acumuladas.
Cuando acumulamos las frecuencias relativas debemos recordar que siempre se llega a la unidad.

Cada tipo de variable tiene sus frecuencias.

A la variable cualitativa nominal, solo se le puede calcular las frecuencias absolutas y relativas simples. Esta variable no acumula frecuencias, pues entre sus categorías no hay relación de orden.
A la variable cualitativa ordinal, si, se le pueden calcular las frecuencias acumuladas, pues entre sus categorías se puede establecer una relacion de mayor o menor.

A las variables cuantitativas discretas y contínuas, se les calcula todas las frecuencias, ya sean absolutas y relativas simples y acumuladas.
Pues al ser numéricas se puede establecer entre sus categorías relaciones de orden.

Cálculo de la MODA: ejemplos

2010-09-07T02:40:00.002-03:00

Hemos recibido varias consultas sobre el cálculo de la MODA, y su concepto.

Comencemos entonces diciendo que la moda, es el valor de la variable que se repite más veces, es decir que tiene la mayor frecuencia.

Ejemplos:

1) En este caso tenemos una sola moda, que es el número x=6 , pues se repite 7 veces.

2) En este caso tenemos dos modas que son los números x=5 y x=11, pues ambos tienen la mayor frecuencia que es 8.

Se dice que la distribución es "bimodal".

3) En este otro caso tenemos 3 modas, que son los números x=22, x=25 y x=27 , pues se repiten cuatro veces cada uno, y esa es la mayor frecuencia.

Se dice que la distribución es "trimodal".

Calcular MEDIA: datos agrupados

2010-09-05T14:00:00.002-03:00

Calcularemos la media para los siguientes datos:

2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 12

1) Los agrupamos en una tabla de frecuencias.
Para ello contamos cuantas veces se repiten cada uno de los números, y vamos colocando cada observación con su correspondiente repetición.
La tabla queda como se muestra a continuación:

2) Multiplicamos las observaciones por las frecuencias.

3) Aplicamos la siguiente fórmula:

4) Dividimos el total de la tercera columna entre el total de observaciones.

Ya hemos obtenido la media, o promedio de un conjumto de números.

Distribución de Poisson: Ejercicio

2010-08-29T22:46:00.018-03:00

Ejercicio:
El número promedio de personas que realizan transacciones en un cajero automático cada 10 minutos es de 3,4 personas.
Calcular la probabilidad de que en 10 minutos cualesquiera, se realizen:
1) menos de 2 transacciones.
2) más de 2 transacciones.

Solución:
Lo primero que debemos buscar en la letra del ejercicio es el parámetro de la distribución de Poisson, que en este caso es el promedio(lambda) 3,4.
Luego solo resta aplicar la fórmula:

1) menos de 2 transacciones: calculamos la probabilidad de que se produzcan cero transacción, y una transación. Luego sumamos

2) más de 2 transacciones: debemos calcular la probabilidad desde 3 transaciones , hasta infinito.

Como no resulta posible, utilizamos la propiedad de que la probabilidad de todo el espacio muestral suma uno.

Luego restamos al total(1) , las probabilidades faltantes ( 0, 1 y 2)

Distribución de Probabilidad de Poisson

2010-08-19T23:49:00.005-03:00

La Distribución de Poisson, es una distribución para variables discretas, al igual que la distribución Binomial.

La diferencia radica en que , la variable discreta debe darse en un intervalo contínuo.

Por ejemplo: cantidad de personas que entran durante una hora en un cajero automático .

Variable discreta=cantidad de personas.

Intervalo contínuo= una hora

La fórmula de la distribución de Poisson es la siguiente:

Podemos observar que el único parámetro de esta distribución es lamda.

Este parámetro coincide con la media

Y la varianza de la distribución.

Distribución de Probabilidad Uniforme (contínua)

2010-08-06T00:02:00.000-03:00

La distribución de probabilidad uniforme contínua, es aquella donde la variable "x"representa un punto elegido al azar entre los valores "a" y "b".

Se dice que la variable "X" se distribuye uniforme entre "a" y "b".

Ejercicio Distribución Binomial

2010-07-25T22:01:00.008-03:00

Explicaremos el típico ejercicio de distribución Binomial.

Tirar una moneda es un experimento que se modela con la distribución binomial, pues tien dos sucesos posibles: 1) que salga cara, 2) que salga cruz.

Ejemplo: Se lanza una moneda 12 veces , calcular la probabilidad de obtener 7 caras.

Calculamos:

La probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda: p= 1/2 ( utilizando la fórmula clásica de casos favorables, dividido casos posibles).
Calculamos la probabilidad de fracaso, que en este caso coincide con la probabilidad de éxito. Ambas son 1/2. O sea q=1/2.
Realizamos el experimento 12 veces, por lo tanto n=12. Finalmente la cantidad de éxitos que deseamos obtener es k=7.

Finalmente sustituimos en la fórmula de la distribución binomial:

Distribución de Probabilidad Binomial

2010-07-17T23:44:00.006-03:00

Se realiza un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:

1) El experimento solo puede tener 2 resultados posibles, llamados "éxito" y "fracaso".

2) La probabilidad de éxito en cada una de las observaciones es constante, e igual a "p".

3) El resultado "éxito" o "fracaso" de cualquier observación es independiente del resultado de otra observación.

4) El experimento se realiza "n" veces.

Función de Probabilidad:

X= variable aleatoria

p= probabilidad de éxito.

q= probabilidad de fracaso. (1-p)

n= número de veces que se realiza el experimento

k= número de "éxitos" en las "n" pruebas.

Esperanza E(x)=np Varianza V(x)=npq

Gráfica Distribución Normal

2010-05-01T01:01:00.009-03:00

La Distribución Normal , o campana de Gauss, es una de las distribuciones más utilizadas en Estadística Inferencial.

Graficar la Distribución Normal correctamente resulta indispensable. La campana es simétrica, y está centrada en su media.

Sus parámetros son la media y la desviación típica, y según estos números van variando también cambia la forma de la distribución. Pudiendo ser más "alta", mas "aplastada", más "estirada".

Se observan 3 casos:

1) Mesocúrtica. 2) Platicúrtica. 3) Leptocúrtica

Funcion de Distribución Acumulada: OJIVA

2010-03-21T15:02:00.000-03:00

La Función de Distribución Acumulada, como su nombre lo indica, es para graficar las frecuencias absolutas acumuladas, o las frecuencias relativas acumuladas.

Se le suele llamar Ojiva. Esta gráfica se puede realizar para variables cuantitativas contínuas o para variables cuantitativas discretas.

En esta oportunidad graficaremos para variables cuantitativas contínuas. Se deben unir los límites superiores de los intervalos de clase , con la frecuencia acumulada. Así se va logrando que la gráfica quede ascendente.

Polígono: variables cuantitativas

2010-03-12T03:44:00.001-02:00

El Polígono es una gráfica que se realiza para las variables cuantitativas contínuas. Es una gráfica lineal, que puede graficarse sola, o en la misma gráfica que el Histograma.

En esta ocasión, éste es el procedimiento que seguiremos. Graficaremos juntos el Histograma y el Polígono.

Para graficarlo se deben unir las marcas de clase de cada intervalo, con la frecuencia absoluta simple o relativa simple. La frecuencia debe ser la correspondiente a cada intervalo de clase.

Además se debe agregar, un intervalo anterior al primero, y luego un intervalo posterior el último.

Se indican las marcas de clase de estos dos intervalos, y se completa la gráfica, llevando hasta el eje "x" la línea que indica el Polígono.

Histograma: variables en intervalos

2010-03-02T00:11:00.001-02:00

El Histograma , es una gráfica para variables agrupadas en intervalos. Generalmente es para variables contínuas.

Para graficarlo, se colocan en el eje de las "x" , los valores de los intervalos de clase, y en el eje de las "y", las frecuencias absolutas , o las frecuencias relativas . Pero siempre deben ser frecuencias simples. Recordemos que también existen frecuencias acumuladas, pero éstas se grafican con otro tipo de gráfico.

Nuestros seguidores

2010-02-02T14:11:00.003-02:00

Un agradecimiento, a nuestro seguidores, tanto los que lo hacen de forma pública, como los que nos siguen de forma privada, que sabemos que son unos cuantos, por los mail que nos envían, y las consultas que nos hacen.

Gracias Fabiola, que ha sido la primera, que se animó a seguirnos de forma pública; como siempre, México ha estado presente, en la lectura de los post de este Blog.

Hoy se ha incorporado Rosana. Cúentanos de donde eres, y que estúdias, y cuales son los temas que más te han interesado.

Gracias a todos por sus comentarios, hacen que este Blog pueda seguir mejorando.

Chi Cuadrado: ejercicio

2009-12-20T01:18:00.001-02:00

Las variables, que utilizaremos para el ejemplo son:

1) Taller de capacitación

2) Actitud empresarial

Las dos variables, tienen dos categorías. Los datos del primer cuadro se llaman "Valores observados", pues fueron obtenidos, u observados en el experimento.
Los datos del segundo cuadro, se llaman "Valores esperados". Estos valores se obtienen multiplicando el total de cada fila por el total de cada columna, y dividiendo entre el total general (200)

Luego, corresponde aplicar la fórmula de chi cuadrado:

Realizamos los cálculos:

Y obtenemos un valor de Chi cuadrado:

Que nos indica que hay Asociación entre las variables estudiadas, pues está lejano de cero.Pero la Asociación, no es muy fuerte, se podria decir, que es una asociación débil, o moderada.

También hemos hablado, de chi cuadrado, en los post, de: 18/10/08,y 20/10/08 .

Puede ser útil consultarlos.

Chi Cuadrado: concepto

2009-12-18T10:45:00.001-02:00

Uno de nuestros lectores, nos ha pedido ayuda para la realización de un ejemplo de Chi Cuadrado.
Nos ha facilitado los datos, y nosostros hemos realizado los cálculos, y las explicaciones.

Se trata de ver la asociación de dos variables cualitativas nominales, ambas con dos categorías. Tendríamos que calcular el coeficiente de Cramer, o el coeficiente de Contingencia, para ver exactamente el grado de asociación de las variables

Recordamos que los Coeficientes mencionados, varian entre cero y uno. Indicando, falta de asociación, o asociación muy débil cuando se acerca a cero. Y asociación fuerte cuando se acerca a la unidad.

Si se quiere realizar el cálculo solo de Chi Cuadrado, la interpretación es similar. Si chi cuadrado es un número próximo a cero, la asociación será muy débil, y al ir creciendo, la asociación se hará más fuerte.
Cabe recordar, que Chi Cuadrado, no tiene rango de variación.

Las variables involucradas, en este estudio, son:
1) Taller de capacitación
2) Actitud empresarial, o Formación Empresarial

Intuitivamente diríamos que hay relación o asociación, entre capacitarse, y la actitud, o la formación que luego tenga la persona.

Bien, haremos los cálculos.

Ejercicio resuelto: Probabilidad Condicional

2009-12-15T23:33:00.002-02:00

Hoy realizaremos un ejemplo de cálculo, de la probabilidad condicional.

Ejercicio:

En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos.Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no.

Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:

Calcular:

1) La probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un encargado, sabiendo que no tiene ordenador.

Lo primero que debemos hacer es indicar cual es la probabilidad pedida, y cual es la condición.

Suceso A: la persona sea un encargado ( suceso pedido)

Suceso B: no tiene ordenador ( suceso que condiciona)

2) Si se sabe que la persona elegida es un administrativo, cual es la probabilidad de que sea alguien que tenga ordenador.

Suceso A: la persona con ordenador (suceso pedido)

Suceso B: la persona es un administrativo (suceso que condiciona)

Probabilidad Condicional

2009-12-10T00:19:00.000-02:00

La probabilidad condicional, se utiliza, cuando un suceso está condicionado por otro.Esto sucede, cuando se nos dice, por ejemplo:

1) "calcular la probabilida del suceso A, sabiendo..."

2) "calcular la probabilidad del suceso A , tal que..."

3) " si... calcular la probabilidad del suceso A "

4) " dado que.... calcular la probabilidad del suceso A"

Todas las palabras que nos indiquen el condicional, nos ayudarán a entender que un suceso está condicionado por otro.

En este caso la fórmula a utilizar será:

Esta probabilidad, es el cociente de dos probabilidades. En el numerador, se calcula la probabilidad de la intersección, y en el denominador la probabilidad del suceso que condiciona.

Ejercicio de Probabilidad

2009-12-05T02:28:00.001-02:00

Realizaremos un ejemplo de cálculo de probabilidad cuando los sucesos no son excluyentes, o sea cuando los sucesos tienen algo en común.

Ejercicio:

En una empresa hay 75 empleados, entre encargados y administrativos, algunos utilizan ordenador, y otros no. Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:

Calcular la probabilidad de elegir un empleado al azar, y que sea un administrativo o alguien que no tenga ordenador.

Lo primero es indicar los sucesos.

Suceso A: un administrativo.

Suceso B: empleado sin ordenador.

Aplicamos la siguiente fórmula:

Calculamos, las probabilidades simples, y luego la probabilidad de la intersección, que debemos restar:
Siempre verificar que el resultado de la probabilidad sea un número entre cero y uno.

Sucesos Independientes

2009-12-03T00:04:00.000-02:00

En probabilidad los sucesos independientes, son aquellos que no se influyen entre sí. O sea que porque ocurra uno de ellos, no tiene porque ocurrir el otro suceso.

Ejemplo.

Suceso A: que llueva el lunes.

Suceso B: que salve el exámen.

Para calcular la probabilidad de dos sucesos independientes, se calculan por separado las probabilidades de cada suceso, y luego se multiplican.

Se aplica la siguiente fórmula:

Sucesos Excluyentes

2009-11-25T13:39:00.000-02:00

En probabilidad se llaman sucesos excluyentes, a aquellos que son incompatibles, o disjuntos, o sea cuando entre esos sucesos, no hay nada en común.

Dicho de otra manera, serían sucesos excluyentes, cuando la intersección de ambos es el conjunto vacío.

Calcular la probabilidad de sucesos excluyentes, es muy sencillo:

O sea que se suman, las probabilidades simples, de cada uno de los sucesos que componen el suceso a calcular.

Si los sucesos no son excluyentes, y hay intersección entre los conjuntos entonces se debe restar, esa parte que tienen en común.

La fórmula sufre una pequeña modificación:

Debemos calcular las probabilidades simples, y luego restar la intersección de ambos conjuntos.

Ejercicio: tirar un dado

2009-11-23T23:50:00.000-02:00

Otro ejemplo, de que la probabilidad de todo el espacio muestral siempre vale uno, lo constituye, el clásico ejercicio de tirar un dado.

Al tirar un dado, el espacio muestral está compuesto por los números del 1 al 6. Calculando la probabilidad de cada número, utilizando la fórmula de casos favorables, sobre casos posibles, nos irá dando siempre 1/6.

Casos favorables: un solo número de cada uno.

Casos posibles: siempre son 6.

Por lo tanto, siempre será 1/6.

Al tener 6 sextos multiplicado por 6, nos dá uno.

La probabilidad de todo el espacio muestral siempre suma la unidad.

Espacio Muestral: ejercicio

2009-11-21T13:37:00.000-02:00

La probabilidad de todo el espacio muestral, siempre suma uno.

Recordemos , cual es el espacio muestral de tirar una moneda: cara, cruz.

La definición clásica de probabilidad, nos indicaba calcular , los casos favorables, dividido los casos posibles.

Así, la probabilidad de que salga cara será: un caso favorable, sobre dos casos posibles.

Lo mismo, si calculamos la probabilidad de que salga cruz: un caso favorable, sobre dos casos posibles.

Luego sumamos ambas probabilidades, y lógicamente, nos da uno.

La probabilidad de todo el espacio muestral siempre suma uno.

Propiedades de la probabilidad

2009-11-16T10:50:00.000-02:00

Las propiedades de la probabilidad más importantes son:

Significa, que la probabilidad nunca puede ser negativa, ni tampoco superar el número 1.

Su rango de variación, está entre cero y uno.

Significa, que la probabilidad de todo el espacio muestral siempre vale 1.

La tercera propiedad, nos indica que la probabilidad del conjunto vacío, es cero.

La cuarta propiedad , indica , que al tener 2 sucesos que unidos completan todo el espacio muestral la probabilidad de uno de ellos, se podrá calcular, restando al total (1) la probabilidad del otro
suceso. Aquí se está utilizando la propiedad número 2.

Probabilidad

2009-11-11T22:11:00.000-02:00

Para calcular la probabilidad, la fórmula más sencilla, es la fórmula de la probabilidad clásica

Esta indica, dividir, el número de casos favorables a cierto evento, sobre el número de casos posibles del experimento aleatorio.

El ejemplo, más sencillo, es el de tirar un dado.

¿Cúal es la probabilidad de que salga el número 3 al tirar un dado?

Siempre debemos verificar que el resultado sea un número, comprendido entre cero y la unidad

Espacio muestral-Sucesos-eventos

2009-11-08T00:31:00.000-02:00

Cuando realizamos un experimento aleatorio, vamos a estar relacionándonos con la probabilidad.

Un experimento aleatorio es aquél en el que conocemos todos los resultados que van a ocurrir, pero no sabemos cúal de ellos ocurrirá.

O sea al tirar un dado, sabemos que pueden salir los números del 1 al 6; pero no podemos saber cuál de ellos ocurrirá.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados que sabemos que pueden salir, es el conjunto grande.

Se asocia al concepto de población.

Suceso o evento: es un subconjunto de ese espacio muestral. Se asocia al concepto de muestra.

Ejemplos:

Tirar un dado

a) ESPACIO MUESTRAL : 1, 2, 3, 4, 5, 6,

b) SUCESO o EVENTO: "que salga el número 3"

Tirar una moneda.

a) ESPACIO MUESTRAL: cara, cruz

b) SUCESO o EVENTO: "que salga cara"

Estadistica Descriptiva e Inferencial

2009-10-30T12:30:00.000-02:00

La estadística descriptiva, describe la muestra.

La estadística inferencial, se ocupa de la población.

La población, es aquél conjunto grande, numeroso, del cual se quieren sacar conclusiones.

Por ser complicado, trabajar con un conjunto tan grande, es que se toman muestras.

Las muestras , son conjuntos pequeños, pero representativos de la población.

El puente, entre la estadística descriptiva, y la estadística inferencial, es la probabilidad.

De allí , su importancia en el estudio de este tema , en los cursos de estadística o análisis de datos.

Para pasar de la estadística descriptiva a la estadística inferencial se necesita de los modelos de probabilidades, y de los métodos de estimación.

Los métodos de estimación más usados, son los intervalos de confianza, y las pruebas de hipótesis.

Datos originales: cuartiles

2009-10-29T11:26:00.000-02:00

Los datos a los que les calcularemos los cuartiles son:

2, 2, 4, 4, 8, 10

Para el cálculo del primer cuartil, usaremos dos fórmulas de posicionamiento.

Si el valor obtenido da con decimal , se aproxima al entero más cercano, mayor.
Luego se suman los valores de la variable, y se divide entre 2.

En este caso, buscamos los valores correspondientes a la posición 2, y 3.
Son los valores, 3 y 4.

Para el cálculo del tercer cuartil, hacemos lo mismo, buscamos dos lugares de posicionamiento

y si dan con decimal, se aproximan al entero mas cercano , menor.

En este caso, buscamos los valores de la variable, que ocupen el lugar 4 y 5.

O sea los valores 4 y 8.

Siempre se obtiene , un solo primer cuartil, y un solo tercer cuartil.

Datos sin agrupar: media moda mediana

2009-10-26T21:02:00.000-02:00

Los datos sin agrupar, son los datos originales.
Como vienen dados de la encuesta que se realizó para obtenerlos.
En este post supondremos que la cantidad de datos es una cantidad par :

10, 2, 2, 4, 4, 8

Lo primero a realizar, es ordenarlos: 2, 2, 4, 4, 8, 10

Calcularemos la media:

El procedimiento es el mismo que si la cantidad de datos fuera impar.

Se suman todos los valores, y se divide entre la "n"

Para calcular la moda, o modo, se ve cual valor se repite más veces.
En este ejercicio, hay dos modas, el 2 y el 4 .
Se dice que la distribución es bimodal.

Para el cálculo de la mediana, utilizaremos dos fórmulas para los lugares de posicionamiento.

Buscamos los valores que ocupan el lugar 3, y el lugar 4 , que son respectivamente:4 y 4.

Luego se suman y se dividen entre 2.

Coeficiente de Variacion, Rango Intercuartílico

2009-10-22T00:01:00.000-02:00

Otras medidas que componen el conjunto de medidas de posición, son el coeficiente de variación, que se expresa en porcentaje, y el rango intercuartílico.

Para el cálculo del coeficiente de variación, se debe calcular previamente, la desviacíon típica y la media.

Para el cálculo, del rango intercuartílico, se debe tener calculado previamente, el primer y el tercer cuartil.

Todos los cálculos anteriores se corresponden con el ejemplo que venimos desarrollando, en los post anteriores.

Varianza, Desviación Típica:datos originales

2009-10-20T15:34:00.000-02:00

La varianza y la desviación típica o estándar, constituyen parte de las medidas de dispersión.

Continuando con el ejemplo numérico, los valores de la variable a los que les aplicarmos las fórmulas son:

3, 3, 3, 4, 5, 8, 9, 9, 10

Para calcular la varianza utilizaremos la siguiente fórmula, que requiere del cálculo previo de la media ( que ya la tenemos calculada del post anterior) , recordemos que su valor era: 6

La desviación típica o estándar, es la raiz cuadrada de la varianza. Y es por eso que adquiere mayor relevancia, pues queda expresada en las unidades de la variable.

Medidas de tendencia no central: datos originales

2009-10-14T13:10:00.000-02:00

Continuaremos, con los números del ejemplo del post anterior:
3, 3, 3, 4, 5, 8, 9, 9, 10

Las medidas de tendencia no central, son los cuartiles, los deciles y los percentiles.
Los cuartiles, son los valores que dividen al conjunto de datos, en cuartos.

1) El primer cuartil, se localiza en el 25%, y se halla con la fórmula de posicionamiento:

Por lo tanto, el primer cuartil ocupa el lugar: 2,5. Este valor se redondea, por lo cual buscaremos el valor de la variable que ocupe el lugar 3. El primer cuartil es el valor 3. Aquí coincide, lugar de posicionamiento, y valor de la variable.

2) El tercer cuartil, se localiza en el 75% y se calcula con la fórmula de posicionamiento:

Ocupa el lugar: 7,5 este valor se redondea a lugar 7; así el valor de la variable que ocupa el lugar 7 es: 9

El tercer cuartil es 9.

El segundo cuartil, no se suele calcular, pues coincide con la mediana, ya que es el valor que acumula el 50%.

Medidas de Tendencia Central: datos originales.

2009-10-08T22:50:00.000-02:00

Recordemos que las medidas de tendencia central son la media , la moda y la mediana.

Cuando los datos son originales, no vienen agrupados en distribuciones de frecuencias, son por ejemplo:

5 , 8 , 3 , 3 ,3 , 9 , 10, 4 ,9

1) Cálculo de la media: recordemos que es un promedio

2) Cálculo de la moda: es el valor de la variable que se repite más veces.

En este caso, es el número 3

Moda=3

3) Y para el cálculo de la mediana, primero se deben ordenar los valores de la variable, de menor a mayor:

3, 3, 3, 4, 5, 8, 9, 9, 10 y luego usaremos la fórmula de posicionamiento:

Ahora buscamos el valor de la variable, que ocupe el lugar 5

La mediana es : X=5

Variables Cualitativas

2009-09-30T00:15:00.001-03:00

Las variables cualitativas, son aquellas, que se dividen en categorías , por ello también se llaman atributos.

Pueden ser , nominales, u ordinales. La diferencia está , en que unas tienen las categorías ordenadas ( ordinales) , y las otras, no guardan relación de orden entre sus categorías ( nominales).

Para las variables nominales, la única medida de posición que se puede calcular es la moda.

Para las variables ordinales, se le puede calcular la moda, la mediana, la primera y tercer cuartila, y por supuesto todos los percentiles, o deciles, que se requieran.

Plataformas e-learning

2009-09-27T00:08:00.000-03:00

Las plataformas para educación a distancia, son varias, pero sin duda hay una, que se ha extendido más que las otras: Moodle , su uso está absolutamente generalizado por las universidades más destacadas, que ofrecen cursos a distancia.

Tal vez se deba , a su facilidad de manejo, tanto para tutores como para los alumnos, además de que es sofware libre.

Por supuesto que es una plataforma muy completa, foros, chats, actividades , etc.

Aprender a distancia

2009-09-24T23:50:00.000-03:00

Aprender a distancia, es otra de las posibilidades que nos facilita internet.

Ya no hay que estar en determinado sitio, a una hora en particular; puedes estar muy lejos de tu profesor , o del aula de clase, y sin embargo seguir siendo el primero de la clase!!

Así de facinante, se ha vuelto la experiencia de ser alumno. Las plataformas más utilizadas para e-learning , son Moodle,

Claroline, Dokeos, Atutor.

Son muy completas y se han convertido en aulas virtuales, tan parecidas a las aulas reales, que casi no hay diferencia.

E-learning

2009-09-22T23:37:00.000-03:00

Los cursos que comenzarán próximamente, serán dictados únicamente en modalidad on line.

Algunos de ellos serán, relativos a Estadística Descriptiva, Estadística Inferencial, Matematica Financiera, Análisis micro y macro económico, y por supuesto no faltarán los cursos para aprender a graficar con MS Excel.

Serán cursos, de muy fácil comprensión, que no requieran de conocimientos previos.

Solo se requerirá muchas ganas de aprender!!

Cursos a distancia

2009-09-20T23:17:00.000-03:00

Los cursos a distancia que desarrollaremos, serán relativos a temas de Economía y Negocios, y manejo de Excel.

Serán cursos estructurados en tres áreas:

Área estudiantes: estos son cursos, de apoyo a clases presenciales, para preparar exámenes finales, para aprender a graficar utilizando MS Excel.

Área profesionales: estos son cursos para toda persona que teniendo una titulación en el área de economía y negocios , requiera de nuevos conocimientos para complementar los ya adquiridos.

Área empresas: son cursos para capacitar, o actualizar a todo aquél que requiera de conocimientos en el área de economía y negocios.

Los cursos comenzarán en breve!!

Cursos on line

2009-09-18T23:05:00.000-03:00

Los cursos a distancia han tenido un gran auge y aceptación, en los últimos tiempos.

Son de gran utilidad, ya sea como refuerzo de clases presenciales, como complemento a cursos, o simplemente como único recurso de aprendizaje.

Se adaptan a las necesidades , horarios, y disponibilidad de los alumnos. Cada quien puede tomar el curso en el horario que la resulte adecuado, y no por ello queda aislado del resto de sus compañeros de clase.

Las plataformas para los cursos on line, tienen foros y chats para intercambiar ideas, sugerencias y comentarios, entre los tutores y los alumnos, y entre los alumnos y sus compañeros de cursos.

Próximamente, comenzaremos los cursos on line!!

Números Índices: cambio de base

2009-08-15T19:54:00.000-03:00

Muchas veces para la comparación de los números índices, necesitamos cambiar la base, en la cual están expresados.

Por este motivo la elección del año base se vuelve muy importante.

En general se deben tener en cuenta dos condiciones:

1) El año base elegido, debe ser un año donde la variable estudiada, haya tenido valores medianamente estables, o por lo menos que no se visualicen valores extremos.

2) Debe ser un año cercano al año en el cual se están realizando las comparaciones, o los cálculos de interés.

Ejercicio de Recta de Regresión

2009-08-13T03:03:00.000-03:00

1) Calcular las medias de ambas variables:

2) Elaborar una tabla con los siguientes cálculos:

3) Aplicar las fórmulas, de "a" y de "b".

4) Finalmente, tenemos la recta de regresión:

Que te sea de mucha utilidad!!

Gracias por consultarnos!!

Recta de Regresión: ejercicios

2009-08-11T00:49:00.000-03:00

Calcularemos la recta de regresión, con un ejercicio en concreto.

Supongamos que tenemos dos variables "X" e "Y" que toman los siguientes valores:

X: 4-2-5-6-3

Y: 15-8-21-24-17

Con estos números debemos:

1) Calcular las medias de ambas variables.

2) elaborar una tabla, para simplificar cálculos.

3) Aplicar las fórmulas de "a" y de "b".

Recta de Regresión: ejemplo

2009-08-08T02:32:00.000-03:00

Ante las numerosas consultas recibidas sobre este tema, es que volvemos en este post a plantear un ejemplo de la recta de regresión.

Veremos la ecuación de la recta:

Observamos que necesitamos del cálculo de "a" (ordenada en el origen), y del cálculo de "b" ( pendiente de la recta).

Cada uno de estos parámetros tiene su fórmula:

Para el cálculo de "a" previamente, debemos tener calculado, las medias de ambas variables; la media de "X" y la media de "Y".

Interpolación de valores en tablas de probabilidades

2009-08-03T22:18:00.000-03:00

Uno de nuestros lectores nos ha pedido, que realicemos una interpolación, de una tabla de probabilidades.

Suponemos que será la tabla de probabilidades de la distribución "t" de Student, pues la tabla de la distribución Normal no lleva grados de libertad.

Realizaremos el ejercicio con los datos ficticios que nos has enviado.

El procedimiento es el siguiente:

1) realizar 3 diferencias, sin importar el signo.
2) realizar una regla de tres.
3) sumar al número más pequeño, el valor hallado.
4) comprobar, que el resultado final, se encuentre entre 2, 80 y 2,95 lo que efectivamente ha sucedido, pues nos dio: 2,9350

Esperamos que te sea útil!!

Estadística Inferencial

2009-08-01T00:15:00.000-03:00

En este post, trataremos de explicar a uno de nuestros lectores , el concepto de Estadística Inferencial, y en una próxima entrada veremos los métodos de estimación.

La Estadística Inferencial, es aquella que se ocupa de estimar los parámetros de la población, a través, de lo observado en la muestra.

Realiza la estimación, apoyándose en el cálculo de probabilidades, y en las técnicas de estimación.

Llegado a este punto, necesitaríamos hablar, de las distribuciones de probabilidad (que tienen su base matemática), como lo son la distribución Normal (para variable continua), la distribución Binomial(para variable discreta), la distribución de Poisson ( para variable discreta, que se da en un intervalo continuo), y otras tantas distribuciones utilizadas en la Estadística Inferencial, como la distribución Chi Cuadrado, o la distribución de Fisher.

Hablar de Estadística Inferencial, sin conocimientos matemáticos, ya no es posible;pues el error cometido en la estimación se da en términos probabilísticos .

Números Índices Ponderados: Paasche

2009-07-29T00:22:00.000-03:00

Los números índices de Paasche utilizan para ponderar, las cantidades del año conciderado, si el índice es de precios.

Y ponderan con los precios del año conciderado, si el índice es de cantidad.

Números Índices Ponderados: Laspeyres

2009-07-27T01:07:00.000-03:00

Los números índices ponderados de Laspeyres, utilizan como ponderación, las cantidades del año base, siempre que el índice calculado sea de precio.

Y ponderan con los precios del año base, si el índice es de cantidad.

Números Índices: fórmulas

2009-07-25T01:57:00.000-03:00

El índice simple, de precios, se obtienen al dividir el precio del año considerado, y el precio en el año base; siempre se multiplica por 100, y se expresa como porcentaje, de aumento o de disminución de precios.

El índice de cantidad, sigue el mismo procedimiento de cálculo.

Números Índices

2009-07-23T00:11:00.000-03:00

Un número índice, es una herramienta estadística utilizada para ver la evolución que ha tenido una variable a lo largo del tiempo, comparándola con el valor de la misma variable calculada en un período llamado "base".

Hay diversidad de índices, pueden ser índices de precios (reflejan la evolución que han tenido los precios), índices de cantidad ( se observa la evolución en las cantidades ), o índices de valor (indicando la evolución en el valor de la variable estudiada).

Los índices también se pueden clasificar en:

1) Índices no Ponderados

2) Índices Ponderados

Los índices no ponderados son :

a) los índices simples.

b) los índices de agregación simple.

Los índices ponderados son:

a) los índices de Laspeyres.

b)los índices de Paasche.

Fórmula de la Mediana:variable agrupada en intervalos

2009-07-20T22:23:00.000-03:00

Uno de nuestros lectores, nos ha solicitado la fórmula para el cálculo de la Mediana, cuando los valores están agrupados en intervalos, o lo que es lo mismo , cuando la variable es continua.

Tal vez, lo que nos estés pidiendo, ya está publicado en el post del jueves 19 de agosto del 2008.

Si ese post soluciona tu duda, la pregunta queda contestada, sino , vuelve a consultar.

Ejercicio coeficiente Gamma

2009-07-16T02:29:00.000-03:00

Tenemos en la Tabla de doble entrada, dos variables ordinales:

1) Nivel Socioeconómico, Clasificado en tres categorías, bajo, alto y medio.

2) Rendimiento escolar, Clasificado en tres categorías, malo, regular y bueno.

Para realizar el cálculo del coeficiente de gamma, simplemente aplicamos la fórmula vista en CORRESPONDIENTE el post.

Tenemos que Una Vez "NS" y "nd" , Sencillamente SE Restan en el numerador, y se suman en el denominador.

El número resultante, nos indica el grado de asociación de las variables estudiadas.

Para Interpretar el coeficiente, Debemos Decidir Cual es la variable "X" y Cual es la "Y".

Decidimos X = Nivel Socioeconómico (Variable independiente)

Y = rendimiento escolar (variable dependiente)

Por lo tanto, como gamma dio un número positivo, podemos decir que Al Aumentar la "X" también Aumenta la "Y".

Coeficiente Gamma: variables ordinales.

2009-07-12T12:00:00.000-03:00

El coeficiente Gamma, es un número, que nos indica el grado de asociación de dos variables ordinales.

El rango de variación del coeficiente gamma, es solamente entre -1 y +1.

Cuando Gamma, toma valores negativos ,decimos que la asociación es negativa, y que cuando crece una variable, disminuye la otra variable.

Cuando Gamma, toma valores positivos decimos que la asociación es positiva, y que cuando crece una variable, también crece la otra variable asociada.

Cuando Gamma , toma valores cercanos a cero, decimos que las variables no están asociadas, o que nada tienen que ver la una con la otra.

Coeficiente Gamma: concepto

2009-07-08T01:48:00.000-03:00

El coeficiente Gamma, es uno de los coeficientes que hay para medir o ver la asociación entre variables ordinales.

La asociación entre dos variables significa que una de las variables influye en la otra variable, que tienen algo que ver, que se relacionan.

A una variable se le llama "Y" y se la define como variable dependiente, y a la otra variable se le llama "X" y se la define como variable independiente.

El investigador , o quien esté haciendo el estudio, es quien debe definir cual variable es la dependiente, y cual , la variable independiente.

Las variables ordinales, son aquellas, que tienen categorías; y sus categorías están ordenadas

Coeficiente Gamma

2009-07-04T23:33:00.000-03:00

A la brevedad publicaremos un ejemplo detallado, del coeficiente Gamma; pues uno de nuestros lectores, nos ha pedido un ejemplo que sea muy simple, que no tenga complicaciones matemáticas.

También podrías decirnos en que nivel matemático te encuentras.

Gracias por consultarnos.

Variables cualitativas y variables cuantitativas

2009-06-25T11:25:00.000-03:00

En este post, volveremos a clasificar variables, pues una de nuestras lectoras, nos ha enviado consultas sobre las siguientes variables:

1) litros de yogur, consumidos en una semana.

Es una variable cuantitativa contínua.

2) sabores de yogur, elaborados por una empresa.

Esta es una variable cualitativa nominal.

3) cantidad de envases de yogur, enviados a reciclar.

Esta variable, es cuantitativa discreta.

Esperamos que te sea de utilidad, y si aún sigues confundida, no dudes en consultarnos nuevamente.

Coeficiente de no Determinación:interpretación

2009-06-21T00:52:00.000-03:00

El coeficiente de no determinación, indica la proporción , de la variación total de la variable "Y" que no es explicada por la variable "X".

O sea , la variación que no es explicada por el modelo de regresión.

En este caso sería el 39% de la variación de la variable dependiente, que no se debe a la variación de la variable independiente.

Coeficiente de Determinación:interpretación

2009-06-17T01:29:00.000-03:00

Recordemos que el coeficiente de determinación, se obtiene al elevar al cuadrado el coeficiente de regresión.

Para una mejor interpretación, lo multiplicamos por 100, y expresamos el resultado como porcentaje .

En este caso diremos, que el 61% de la variación de la variable "Y" (variable dependiente), se explica por la variabilidad de la variable "X" (variable independiente).

Coeficiente de no Determinación

2009-06-09T00:31:00.000-03:00

El Coeficiente de no Determinación, es justamente lo contrario del Coeficiente de Determinación.

Indica la proporción en la variación total de la variable "Y"(variable dependiente), que no se debe a la variación de la variable "X"(variable independiente).

Coeficiente de regresión: interpretación

2009-06-07T01:10:00.000-03:00

Recordemos que el coeficiente de regresión, varía solamente entre -1 y +1.

Indicando que , las variables están más relacionadas, cuanto más próximo a -1 ,o +1, esté dicho coeficiente.

Cuando se aproxime a 0 , indicará falta de correlación entre las variables.

En este caso, podemos decir que la correlación es positiva alta, y que cuando aumenta la variable "X"(variable independiente), también aumentará la variable"Y" (variable dependiente).

Coeficiente de Determinación

2009-06-05T00:23:00.000-03:00

El Coeficiente de Determinación, se calcula elevando al cuadrado el coeficiente de correlación, luego se multiplica por 100, para expresar el resultado como porcentaje.

El Coeficiente de Determinación, indica la proporción o porcentaje , en que la variable "Y"(variable dependiente) debe su variación a la variable "X"(variable independiente).

Diagrama de Dispersión y Recta de Regresión

2009-05-30T00:13:00.000-03:00

La recta de regresión, que se calcula por el método de Mínimos Cuadrados, suele graficarse sobre el Diagrama de Dispersión.

Al realizar la gráfica observamos , que tan bueno ha sido el ajuste , de la recta con la "nube de puntos".

La recta siempre debe seguir la tendencia de los puntos, pero debemos recordar que no los une.

Es por este motivo, que el coeficiente de correlación (r) y el coeficiente de regresión(b) siempre tienen el mismo signo, que es además el signo de la pendiente de la recta.

Coeficientes de Regresión

2009-05-28T01:59:00.000-03:00

La recta de regresión, tiene dos cálculos para realizar:

1) "b" es el coeficiente de pendiente, indica la inclinación que tendrá la recta.Como vemos depende de la covarianza, y siempre tendrá su mismo signo.

2) "a" es el coeficiente de ordenada en el origen, y no tiene relación con la correlación de las variables que se estudian.Necesita del cálculo de las medias , de la variable "X" y de la variable "Y".

Recta de Regresión

2009-05-25T01:41:00.000-03:00

La Recta de regresión de, Tiene como primera utilidad, el predecir Valores de la variable que se estudia.

Se Debe Definir previamente, cual es la variable dependiente:"X", y cual es la variable dependiente:"Y".

El investigador es quien decide Cuál será la variable de causa, Y Cuál será la variable de efecto.

La recta de regresión, muestra la forma que toma La relación entre las dos variables que se estudian.

Suele graficarse en Los Mismos ejes, que se grafica el diagrama de dispersión.

Análisis de Regresión

2009-05-23T11:20:00.000-03:00

El objetivo del análisis de regresión, es encontrar una ecuación que describa la relación entre las variables que se estudian .

Una ecuación cuya representación es una línea, se grafica como una recta.

Por ello se dice "Regresión Lineal Simple", se deben calcular los parámetros de la recta de regresión.

El cálculo se realiza por el Método de Mínimos Cuadrados.

El método consiste en ajustar una recta al Diagrama de Dispersión.Se llama "recta de mejor ajuste", pues es la recta que mejor se ajusta al diagrama de dispersión, es la recta que mejor sigue la tendencia de la nube de puntos.

Coeficiente de Correlación: propiedades

2009-05-21T01:47:00.000-03:00

Algunas de las propiedades del coeficiente de corelación son:

1) El coeficiente no se altera por intercambiar los valores de la variable "X" con la variable "Y".

Se dice que el coeficiente es simétrico.

2) El coeficiente no cambia, aunque realicemos transformaciones lineales en las variables.

3) El coeficiente, siempre tiene el mismo signo que la covarianza.

4) Cuando el coeficiente da cero, indica falta de correlación lineal, pero, podría haber entre las variables asociación que no fuera lineal.

Cálculo del Indice de Gini

2009-04-17T00:29:00.000-03:00

Una de las fórmulas para calcular el Indice de Gini, es la vista anteriormente.

Utilizaremos los datos del cuadro del post anterior, para realizar un ejemplo.

Como podemos observar, las sumatorias, van desde 1 hasta "n-1", lo que significa que el último número no se suma.

Debemos realizar la suma de pi*:50+85=135

Debemos realizar la suma de qi*:34,88+75,58=110,46

Ahora realizamos la división:qi*/pi*=110,46/135=0,82

Y finalmente, para obtener el Indice de Gini: 1-0,82=0,18

I.G.=0,18

El Indice de Gini, es un número abstracto, varía solamente, entre 0 y 1.

Cuanto más cerca de cero se encuentra, la distribución de los ingresos, es más equitativa.

Cuanto más cerca de uno, nos dé el índice, más concentrados están los ingresos.

En este caso, podemos decir que la concentación es muy débil.

Curva de Lorenz: ejercicio

2009-04-15T01:38:00.000-03:00

Supongamos , un país, que solo tiene 3 tramos de ingresos(x),y sus correspondientes tramos de población (pi).
Comenzamos, calculando la marca de clase(xc):sumamos el límite inferior y el límite superior de cada intervalo, y lo dividimos entre 2.

Para calcular pi*, acumulamos los porcentajes, que nos dió, la letra del ejercicio, sumamos y obtenemos 100%.

En la columna xc(pi) multiplicamos, los valores correspondientes (la columna xc por la columna pi), y luego sumamos todos los valores.

Para obtener la columna qi, dividimos cada valor de la columna
xc(pi), por el total, y multiplicamos por 100 : 750/2150=34,09
875/2150=40,70
525/2150=24,42

Y la última columna :qi* se obtiene acumulando la columna qi; también debe totalizar 100%.

Para graficar la Curva de Lorenz, basta con colocar en el eje de las "X" los valores de "pi*", y en el eje de las "Y" los valores de"qi*".

Curva de Lorenz: graficarla.

2009-04-13T01:21:00.000-03:00

Para graficar la curva de Lorenz, debemos realizar, una tabla con frecuencias, que generen las dos distribuciones acumuladas, pi(porcentaje de población) y qi (porcentaje de ingresos).

Recordemos que ambos porcentajes, deben sumar 100%.

En el eje "X" colocaremos los valores de la población, y en el eje "Y" colocaremos los valores del ingreso.

En los ejercicios, los valores de la población, pueden venir dados, como totales de la población de una ciudad, país,o región, o como porcentajes.

Y los valores de los ingresos, rentas o salarios, pueden venir dados, como valores absolutos(5000) o como valores dentro de un intervalo(1000-2000), en cuyo caso deberemos hallar la marca de clase.

Covarianza

2009-04-10T00:09:00.001-03:00

La covarianza, es la variación conjunta de las dos variables estudiadas, la "X" y la "Y".

En su cálculo se incluyen las medias de las dos variables .

La covarianza , no tiene un rango de variación, y se expresa en las unidades de medida de las variables.

O sea que si cambiamos las unidades de medida , la covarianza cambiará,ocasionando ésto una interpretación diferente de la asociación de las variables.

Es por ello que se utiliza el coeficiente de correlación, (tambíen llamado "r" de Pearson) pues no depende de las unidades de medida.

Coeficiente de Correlación

2009-04-08T23:31:00.000-03:00

El Coeficiente de Correlación, nos indica el grado que tiene la relación entre dos variables cuantitativas.

Varía solamente, entre -1 y +1.

Y al igual que los otros coeficientes de asociación, al acercarse a 1, indica una relación más fuerte entre las variables estudiadas.

Cuando se acerca a cero, indica falta de asociación, o correlación muy débil.

Como podemos observar en la fórmula, depende de la covarianza, y de las desviaciones típicas de la variable"X" y de la variable"Y".

Como las desviaciones típicas o estándar, son siempre positivas, el coeficiente de correlación, tendrá el mismo signo de la covarianza.

Diagrama de Dispersión.

2009-04-05T00:10:00.000-03:00

El Diagrama de Dispersión, también llamado "nube de puntos", nos permite ver gráficamente, como es la asociación de dos variables cuantitativas.

Puede tomar las formas vistas anteriormente.

En el Diagrama I, se observa una tendencia creciente de la nube de puntos, por lo que se dice que cuando crece la variable "X" , también crece la variable "Y".

En el Diagrama II, cuando crece la varible "X", se dice que decrece la variable "Y".

En el Diagrama III, diríamos que no hay una relación entre las variables "X" e "Y".

Análisis de Correlación

2009-04-03T22:22:00.000-03:00

El análisis de correlación, se utiliza para visualizar la asociación entre las variables cuantitativas.

Se puede visualizar mediante un gráfico o mediante un número.

Mediante un gráfico, es cuando se traza el Diagrama de Dispersión, que puede tomar diferentes formas.

Se grafican, los valores observados de la variable"X" y de la variable "Y", en un par de ejes, y nos queda lo que se llama "nube de puntos".

Siempre se debe decidir, cual es la variable independiente"X", y la variable dependiente"Y".

Mediante un número, es cuando se calcula el Coeficiente de Correlación.

Es un número que solo varía entre -1 y +1.

Cuanto más cerca de cero, más independientes son las variables, y cuando se acerca a +1 o -1, la asociación entre las variables se torna más fuerte.

Coeficiente de asociación: Tau-a

2009-03-30T01:18:00.002-03:00

Otro de los coeficientes de asociación de variables cualitativas ordinales, es el coeficiente Tau-a.

Puede tomar números entre -1 y +1, y como todos los coeficientes de asociación, la cercanía del cero implica independencia , o asociación débil.

Para este cálculo también se define una variable dependiente"Y", y otra variable independiente"X".

Variable Ordinal: Coeficiente Gamma

2009-03-25T00:36:00.000-03:00

Entre los coeficientes de asociación para las variables cualitativas, está el Coeficiente Gamma.

Este coeficiente resulta, de la división de dos números ,que se obtienen al restar y sumar otros dos números( ns y nd) hallados con las fórmulas vistas más arriba.

Al trabajar con variables cualitativas ordinales, siempre se debe definir cual variable es la independiente(X) y cual es la variable dependiente(Y).

O sea que la "Y" depende de la "X", o lo que es lo mismo la variable "Y" se ve afectada por los cambios de la variable "X".

Cuanto afecta esos cambios a la variable "Y" dependerá del grado de asociación que tengan las variables.
El grado de asociación, se observa con un número, que varía entre -1 y +1.

Cuanto más próximo a cero esté el coeficiente Gamma más débil es la asociación entre las variables estudiadas.

Cuanto más próximo a -1 esté el coeficiente Gamma, indicará que al crecer"X" disminuye "Y".

Cuanto más próximo a +1 esté el coeficiente Gamma, indicará que al crecer la "X", también crecerá la "Y".

Coeficientes de asociación: variables ordinales.

2009-03-22T01:19:00.001-03:00

Los coeficientes de asociación de las variables ordinales, son diferentes de los coeficientes de las variables nominales, aunque ambas sean variables cualitativas.

Recordemos que las variables cualitativas ordinales son aquéllas, cuyas categorías están ordenadas.

Los coeficientes más usados para saber la asociación de estas variables son:

1) Coeficiente Gamma.

2) Coeficiente Tau-a.

3) Coeficiente Tau-c.

Estos coeficientes tienen la particularidad de que los tres varían entre -1 y +1; o sea que pueden tomar valores negativos.

Pero todos ellos , a medida que se acercan a cero indican falta de asociación entre las variables estudiadas.

Si están póximos a -1, indican que al crecer una variable, la otra variable decrece.

Si están próximos a +1, indican que al crecer una variable, la otra variable también crece.

También tienen en común, estos coeficientes, que hay que definir una variable independiente (X), y otra variable dependiente(Y).

Coeficiente de Cramer

2009-03-20T00:17:00.000-03:00

El Coeficiente de Cramer, es otro de los coeficientes usados para ver la asociación de las variables nominales cuando sus categorías son de dos o tres clases.

El coeficiente varía entre cero y uno.

Si la tabla de contingencia es de dos filas por dos columnas, o es de tres filas por tres columnas, es válido este coeficiente.

Cuanto más próximo a cero se encuentre, más independientes serán las variables ; cuanto más próximo a uno sea el número, más asociadas estarán las variables que se estudien.

También hay que observar, que para el cálculo del coeficiente de Cramer, se necesita previamente tener calculado el estadístico Chi Cuadrado.

Distribución Chi Cuadrado: su gráfica.

2009-03-18T00:24:00.000-03:00

Esta es la gráfica de la distribución Chi Cuadrado, es una curva asimétrica a la derecha; también se dice que tiene sesgo positivo.

Es muy utilizada en Estadística Inferencial para realizar pruebas de hipótesis, relativas a variables cualitativas.

Se pueden realizar pruebas de hipótesis de independencia , de homogeneidad, y también de bondad de ajuste.

Todos estos temas los trataremos en sucesivos post.

Chi Cuadrado

2009-03-16T00:10:00.000-03:00

El estadístico Chi Cuadrado, es muy utilizado para ver la asociación de las variables cualitativas nominales.

Este estadístico relaciona los valores observados, con los valores esperados.

Los valores observados, son los que obtenemos de la investigación realizada, es "lo observado" .

Los valores esperados, es lo que se espera que suceda, y se calculan haciendo el supuesto, de que las variables pertenecen a una distribución independiente.

La tabla de contingencia original, es la que contiene los valores observados; y los valores esperados se calculan multiplicando el total de cada fila por el total de cada columna y dividiendo entre el número de observaciones(n). Así queda construida otra tabla de contingencia.

Luego se restan los valores observados y los esperados, y se elevan al cuadrado, para luego dividir cada resta entre el correspondiente valor esperado.

Al sumar todos los números tenemos calculado el estadístico Chi Cuadrado.

Cuanto más grande chi cuadrado, más dependientes son las variables.

Cuanto más próximo a cero chi cuadrado, más independientes son las variables.

Peo chi cuadrado no varía entre cero y uno.

Coeficiente de Contingencia

2009-02-25T02:15:00.001-02:00

El coeficiente de contingencia se utiliza para saber la asociación de variables cualitativas nominales, que tienen dos o más categorías.

Este coeficiente require del cálculo previo del estadístico Chi Cuadrado.

Chi cuadrado relaciona los valores observados ( que son los datos recabados para la investigación) , y los valores esperados.

Éstos últimos ( los valores esperados) se calculan haciendo el supuesto de que los valores pertenecen a una distribución independiente.

Por lo que se multiplica el total de cada fila por el total de cada columna de la tabla de contingencia y luego se divide por el total de las observaciones (n).

Por lo que , si fuera cierto que los valores son independientes, todos los valores calculados para cada casillero de la tabla de contingencia deberían dar el mismo número.

Por lo tanto Chi Cuadrado debe debería dar cero.Generalmente, esto no sucede.

El coeficiente de contingencia, toma valores comprendidos entre cero y uno.

Cuando está próximo a cero, indica asociación nula o muy débil entre las variables involucradas.

Cuando está próximo a uno, indica asociación alta, fuerte, o casi perfecta, dependiendo de la cercanía al número uno.