Cálculo de las Medidas de Asimetría:coeficiente de Fisher

Medidas de Asimetría: SESGO

Observamos que cuando la distribución, es simétrica, los valores de la media, la mediana, y la moda coinciden; aunque no tienen porque ser el origen de coordenadas.

Cuando la distribución tiene sesgo a la derecha, el valor más grande es la media y el más chico, es la moda.

Ocurre a la inversa, cuando la distribución tiene asimetría negativa, la media es el valor más pequeño, y la moda es el más grande.

Medidas de Dispersión: Ejercicios

Propiedades: Medidas de Dispersión

Medidas de Dispersión

Estas son las medidas de dispersión, que iremos calculando, para diferentes ejercicios.

Las fórmulas son las mismas, no importando que los datos estén agrupados o si agrupar.

Medidas de Dispersión.

Las medidas de dispersión, nos indican el grado de variación que hay entre los valores de la variable.

Al aplicar una medida de dispersión se puede evaluar la confiabilidad del promedio, o sea de la Media, que se está utilizando.

Cuando los valores de la dispersión dan pequeños indica que los datos se encuentran acumulados alrededor de la media.

Y que la media es representativa de ellos.

Una dispersión grande, indica que la media no es muy confiable.

Cuanto más chicas las medidas de dispersión, más homogéneos son los valores de la variable.

Veamos un ejemplo:

Supongamos que a un espectáculo musical, asisten personas de diferentes edades.

1) Si asisten 4 personas con las siguientes edades:

26 años, 18 años, 22 años, y 24 años. Calculamos el promedio:

Sumo: 26+18+22+30= 96 y se divide entre 4

Promedio=24 años, podemos decir que las personas que asisten al espectáculo tienen una edad promedio de 24 años.

El promedio es representativo.

2) Si asisten 4 personas con las siguientes edades:

18 años, 37 años, 56 años y 89 años. Calculamos el promedio:

Sumo: 18+37+56+89= 200 y se divide entre 4.

Promedio=50 años, podemos decir que las personas que asisten al espectáculo tienen una edad promedio de 50 años.

El promedio no es representativo.

Rango Percentil

El rango percentil, no es una medida  muy usada, pero hay algunos casos en que se hace necesario su cálculo.

Aquí también hacemos referencia al ejercicio ya calculado, en el post del día anterior.

Generalmente se calcula para variables agrupadas en intervalos.

Variable Contínua: Cuartiles, Percentiles

Este ejercicio es una continuación del que publicamos hace tres días, donde ya teníamos calculada la media , el modo y la mediana.

La letra del ejercicio nos hablaba, de una empresa del ramo de la informática que estaba preparando un informe para el gerente general, con el detalle de las ganancias.

El tamaño de muestra "n" es 50 departamentos.

La tabla con las frecuencias absolutas, relativas, acumuladas, porcentuales, ya la teníamos calculada.

Datos Agrupados: Cuartiles, Percentiles.

Recordemos que los cuartiles y los percentiles, son porcentajes en los que se dividen la distribución de frecuencias.

El primer cuartil, se halla donde se acumula el 25% de la distribución de frecuencias relativas acumuladas.

Puede ser que coincida con el 25% exacto, o con el primer valor que lo supere,

El tercer cuartil se ubica donde la función de distribución acumulada llega al 75%.

Ya habiamos comentado que el segundo cuartil coincide con la mediana, pues acumula el 50% .

El percentil sirve para calcular cualquier porcentaje: 10%, 15%, 80%, se sustituye en la fórmula, el símbolo de la "x" por el porcentaje que se desee calcular.

Variable Contínua: Media, Moda, Mediana

Datos Agrupados: Media, Moda, Mediana

Las fórmulas anteriores corresponden, a la media , la moda, y la mediana , cuando los datos están agrupados en intervalos.

Generalmente, se da cuando la variable es contínua, pero a veces también la variable discreta puede agruparse en intervalos.

Recordemos, que para la variable contínua, se calcula, la marca de clase, que es, el valor representativo de todos los que están en el intervalo.

Por este motivo, al calcular la media se multiplica la marca de clase por la frecuencia absoluta simple, y luego se divide todo entre "n", que es el tamaño de muestra.

Datos sin agrupar: los cuartiles

Continuando con el ejemplo, de la cantidad de personas que compraron la revista "La Antigua", calcularemos el primer y el tercer cuartil.

Recordemos que los datos eran: 2, 7, 9, 11, 14, son cinco números.

En ambos cuartiles el lugar de posicionamiento , quedó entre dos números enteros, por lo cual, tuvimos que aproximar.

El primer cuartil hacia arriba( para no salirse del rango de variación), y el tercer cuartil hacia abajo ( para no salirse del rango de variación).

El primer cuartil es el número 7.

El tercer cuartil es el número 11.

El segundo cuartil coincide con la mediana, por eso generalmente no se calcula.

Medidas de Posición: los cuartiles

Los cuartiles dividen a la distribución de frecuencias en cuartos.
Hay tres cuartiles:
a) El primer cuartil se localiza donde la distribución de frecuencias acumula el 25%.
b)El segundo cuartil se localiza donde la distribución de frecuencias acumula el 50%, por lo tanto coincide con la mediana.
c) El tercer cuartil se localiza donde la distribución de frecuencias acumula el 75%.

Cuando los datos están sin agrupar se utilizan las fórmulas anteriormente descriptas, que indican el lugar de posicionamiento, del cuartil buscado.
Hay que destacar, que , si el número de posicionamiento da con decimales, hay que aproximarlo al entero más cercano.
Con la precaución, de que el primer cuartil se aproxima hacia arriba, y el tercel cuartil se aproxima hacia abajo, en el caso de que el decimal coincida entre dos enteros.

La Media, la Moda, y la Mediana.

Los valores se ordenan, siempre de menor a mayor, luego se suman y se dividen entre el tamaño de muestra "n" y así obtenemos la media que es un promedio.

En este ejemplo no hay moda o modo, pues no hay valores repetidos.

Y para hallar la mediana tenemos, primero ,que buscar el lugar de posicionamiento.

En este caso, la mediana es el valor que ocupa el lugar 3, luego que están ordenados, o sea el 9.

Medidas de Posición

Las Medidas de Posición, pueden ser:

a) Medidas de Tendencia central

b) Medidas de Tendencia no central.

En este Post, veremos las medidas de tendencia central, que son la Media, la Moda o Modo, y la Mediana.

La Media:es un promedio de todos los valores que toma una variable estadística.

Se suman todos los valores de la variable, y se dividen entre el tamaño de muestra o sea entre "n".

El Modo: es el valor que se repite más veces, si los datos están agrupados sería el de mayor frecuencia.

A veces puede no haber modo, y otras veces puede haber más de uno, incluso dos o más modos.

Si hay dos modos, la distribución de frecuencias se llama distribución bimodal.

La Mediana: es el valor que divide al conjunto de datos en dos mitades, o sea que el 50% de los valores quedan por debajo de la mediana, y el otro 50% de los valores queda por encima de la mediana.

Variable Contínua: OJIVA

La variable contínua, también puede graficarse mediante las frecuencias acumuladas.

Esta gráfica se llama OJIVA.

Pueden ser frecuencias absolutas o relativas, pero acumuladas.

En el eje de las "X" se colocan los intervalos de clase, y en el eje de las "Y" las frecuencias acumuladas.

Observamos que aquí la Ojiva, es contínua, o sea comparando con la Ojiva de la variable discreta que eran escalones , que quedaban cortados.

Variable Contínua: Polígono de Frecuencias

Otra de las gráficas de la variable contínua, es el Polígono de Frecuencias.

El Polígono se obtiene uniendo los puntos medios de los intervalos de clase.

Además se traza un intervalo anterior al primero, y otro intervalo posterior al último, ambos de la misma amplitud de los demás intervalos.

En ellos también se trazan los puntos medios, y al unirlos todos, queda trazado el Polígono, cerrado hasta el eje de las "X" .

El Polígono, suele usarse para comparar dos distribuciones de frecuencias,ya que la visualización es más clara que con el Histograma de Frecuencias.

Variable Contínua: Histograma de Frecuencias

La variable cuantitativa continua, tiene varias gráficas.

Una de ellas es el Histograma de frecuencias,que puede ser con las frecuencias absolutas o relativas simples.

En el eje de las "X" se colocan los intervalos de clase, y luego se va realizando un rectángulo a la altura de la frecuencia absoluta o relativa , pero simple.

Excel nos ofrece una variedad de gráficos muy interesantes, en este caso hemos elegido, una gráfica con efecto de 3 dimensiones.

Los colores también se pueden variar, según nuestro gusto.

Variable Cuantitativa Contínua: Tabla Estadística

Esta variable, al ser contínua admite números decimales, por lo que generalmente, se agrupa en intervalos.

Los intervalos se llaman "clases", y tienen un "límite inferior" y un " límite superior".

Dentro de cada intevalo hay infinitos valores, por lo cual se coloca la "marca de clase" como valor representativo del intervalo.

Para su cálculo, se suma el límite inferior y el límite superior, y luego se divide entre 2.

Esta variable, admite todas las frecuencias, las absolutas y relativas simples, las absolutas y relativas acumuladas y también las porcentuales.

La marca de clase suele identificarse, con una "X" con un punto sobre ella, o también con una "X" con el subíndice "c": "Xc".

Se lo considera el valor representativo de todos los que están en el intervalo.

También de esta tabla estadística, sacamos como dato principal: el tamaño de muestra, o sea n=200.

Variable Cuantitativa Discreta: gráfico de escalones.

Esta gráfica, se realiza para la variable discreta, con las frecuencias acumuladas.

Pueden ser frecuencias absolutas o relativas, pero siempre acumuladas.

Se suele llamar gráfico de escalera, o escalones, por la forma cortada que va tomando, a medida que se van acumulando las frecuencias.

El corte se va produciendo, porque la variable es discreta, y solo toma valores puntuales, o sea exactos. No hay continuidad entre ellos.

Esta gráfica también recibe el nombre de Ojiva.

Generalmente, se realiza con la frecuencia relativa acumulada, que es la que siempre llega a uno.

Variable Cuantitativa Discreta: Gráfica de Varillas

La variable cuantitativa discreta, se grafica con una varilla, o una barra(pero mas angosta que las barras de las variables cualitativas) .
Esta gráfica es para las frecuencias absolutas o relativas ,pero simples.
Indica que la variable, toma, puntualmente, un valor.
En este caso graficamos las frecuencias absolutas simples de la tabla estadística que editamos en el post del día anterior.

Observemos, que en el eje de las X, ahora hemos puesto números (que son los que toma la variable).

Cuando graficamos, el gráfico de barras de la variable cualitativa, ya sea nominal u ordinal , en el eje X, no se ponían números; solamente escribíamos los nombres de las categorías.

Variable Cuantitativa Discreta: Tabla Estadística

Supongamos que hemos realizado una encuesta sobre el puntaje obtenido por 200 alumnos en una prueba de estadística.

Los resultados obtenidos, los mostramos en la tabla estadística.

Es una variable discreta, porque el puntaje es un número entero.

Esta variable, también tiene todas las frecuencias. Tiene las frecuencias absolutas y relativas simples, las frecuencias acumuladas , y las frecuencias porcentuales.

Recordemos como se calculan:

a)Las frecuencias absolutas simples, son los valores que obtenemos de la encuesta realizada.

b) Las frecuencias relativas simples, se obtienen dividiendo las frecuencias absolutas simples entre el total de la muestra, o sea , en este caso , se dividen entre n=200.

c) Las frecuencias absolutas acumuladas, se obtienen, sumando a la primer frecuencia absoluta simple, la siguiente, y así hasta el final.

d) Las frecuencias relativas acumuladas, se obtienen, sumando a la primer frecuencia relativa simple, la siguiente, y así hasta el final.

e)Las frecuencias porcentuales, se obtienen, multiplicando por 100, las frecuencias relativas simples, y las relativas acumuladas.

Recordemos:las frecuencias relativas simples , siempre suman uno. Las frecuencias absolutas simples , siempre suman el tamaño de muestra , en este caso será n=200.

Variable Ordinal: Gráfica circular -Pastel o Torta

La gráfica que realizaremos para la variable ordinal será del mismo estilo que la realizada para la variable nominal.

Ambas variables son cualitativas, y se grafican con un gráfico de Sectores, también llamada pastel o torta, por su forma redonda.

Simplemente elegiremos otro de los múltiples modelos que Excel nos ofrece.

En este gráfico , optamos por dejar la "leyenda", que nos indica, cada sector a que categoría de la variable pertenece.

Hemos realizado este gráfico con la frecuencia porcentual simple, que corresponde a la quinta columna de la tabla estadística(fr%).

Tablas Estadísticas: variable ordinal

Supongamos, que realizamos una encuesta entre 200 estudiantes y les preguntamos por sus calificaciones en la universidad.

La tabla Estadística de la variable ordinal, es más completa que la tabla de la variable nominal.Recordemos que la variable ordinal tiene categorias ordenadas, por lo cual se puede acumular.

La tabla tendrá , entonces, las frecuencias absolutas y relativas simples, pero además, las frecuencias absolutas y relativas acumuladas.

Tambíen se podrán incorporar las frecuencias porcentuales.

La información que se puede obtener, será similar , a la tabla de la variable nominal.

Supongamos que interpretamos la tercer fila:

a)Podemos decir que 65 estudiantes tuvieron una calificación "buena".

b) Si nos fijamos en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas, diremos, que 100 estudiantes tuvieron una calificación de "bueno" o inferior.

c) También podemos hacer lecturas porcentuales: el 32,5% de los estudiantes tuvieron una calificación de "bueno".

d) El 50% de los estudiantes tuvieron una calificación de "bueno" o inferior.( recordar que estamos acumulando)

Gráficas con Excel: continuación

11) En este paso ubicamos la gráfica en la hoja 1



12) Hacemos "clic" sobre el gráfico , y aparece Formato del área de gráfico.



13) En este cuadro de dialogo, elegimos el color del Borde: canela, y el grosor.
También elegimos el color del Área :marfil.




El gráfico quedó pronto.
Podemos probar diferentes combinaciones de colores, y subtipos de gráficos; experimentar las opciones que Excel nos brinda, es una tarea que motiva nuestra creatividad.
Con estos pasos que hemos reseñado, seguramente tú podrás realizar un gráfico,muy novedoso.

Gráficos con Excel: continuación

10)Aparece el paso 4 del asistente: es para dar la ubicación al gráfico .