Muestreo de Medias: ejercicios

Realizaremos un ejercicio con los datos del post anterior. El tamaño de la población es N=250, el tamaño de la muestra es n=6 , la media de la población es 3, 8 y la desviación típica de la población es o,45.
Calcular la media, la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.




La media del muestreo de medias, es igual a la media poblacional:

La desviación típica del muestreo de medias, es igual a la desviación típica de la población dividido la raíz cuadrada del tamaño de muestra:

Y la varianza del muestreo de medias la calculamos elevando al cuadrado la desviación típica:

Ejercicios:muestreo-muestras

Ejercicios.
1) Una población de tamaño N =345 , tiene una media de 3,8 y una desviación típica de 0, 45. Se toman muestras de tamaño n=6.
Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

2) La prevalencia de cierta enfermedad en una población es del 14%. Se toman muestras de tamaño 38. Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución del muestreo de proporciones.

3) Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una media, si se quiere una seguridad del 99%, y se conoce la desviación típica poblacional de 29. El error máximo que se puede cometer , no supera 4,6.

4) Calcular el tamaño de muestra de una proporción para que la seguridad de la estimación sea del 90%.El error no puede superar 0,24.

Muestreo de Medias

Ejercicio:

1)Una población de N= 1200 objetos de metal, tienen una media de 23Kg. y una desviación típica de 6,8Kg.

Se realiza un muestreo, y se sacan muestras de tamaño n=34. Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

Según las fórmulas del muestreo con reposición:

Con los datos del ejercicio, los cálculos quedan de la siguiente manera:

Muestreo de Proporciones

La relación entre una muestra y la población de la cual fue extraida , se llama teoría de muestreo. El muestreo puede ser de "medias" o de "proporciones".

En el muestreo de proporciones, la población tiene una proporción poblacional (P); la muestra tiene una proporción muestral(p) y un tamaño de muestra(n).

El muestreo de proporciones proviene de la distribución Binomial, donde p+q=1.

Las fórmulas para la media y la desviación típica de la proporción muestral son las siguientes:

Esto indica que la media de la proporción muestral, es igual a la proporción poblacional.

La desviación típica de la proporción muestral , es igual a la raiz cuadrada de P*Q/n.

Por eso recordamos que proviene de la distribución Binomial,para realizar el cálculo de Q.

Teoría de Muestreo

La teoría de muestreo estudia la relación que hay entre una población y las muestras tomadas de ella.

Supongamos que tenemos una población de tamaño "N", y tomamos muestras de tamaño "n".

La población tendrá una media, una desviación típica y una varianza. A su vez las muestras también tendrán una media, una desviación típica y una varianza.
Si consideramos el estadístico "media muestral", también tendrá una media , una desviación típica y una varianza, que tendran relación con los parámetros de la población de la cual fueron extraídas las muestras.

Si el muestreo se hace con reposición las fórmulas son las siguientes:

Cuando el muestreo es sin reposición se debe agregar el "factor de corrección para poblacíón finita", que involucra el tamaño de la población (N) y el tamaño dela muestra (n).

Pero en esencia los cálculos son muy similares.

Muestreo Estratificado

Muestreo Estratificado:
Este muestreo se realiza cuando los elementos de la población se dividen en clases o estratos. Los elementos deben ser heterógeneos respecto a la variable que se está estudiando. Es un tipo de muestreo muy usado cuanto más diferentes sean los estratos entre sí, y cuanto más homogéneos sean los elementos al interior del estrato.
Si suceden esas 2 condiciones este tipo de muestreo se prefiere al Muestreo Aleatorio Simple.

El problema principal surge de dividir el tamaño de la muestra entre los estratos, o sea cuantos elementos de cada estrato debe contener la muestra en cuestión.

Para ello se puede distribuir los elementos en la muestra según el tamaño relativo del estrato. O sea que los estratos más grandes contribuyen con más elementos , y de los estratos más pequeños se obtienen menos elementos para formar la muestra.

Muestreo Sistemático

El muestreo sistemático se utiliza cuando los datos o elementos de la población están ordenados en listas.

Para realizar este muestreo se selecciona un elemento al azar entre el primer elemento y el que ocupa un lugar en la lista menor o igual al factor de elevación, y luego se completa la lista sumando el factor de elevación al primer elemento obtenido. Este procedimiento se realiza hasta completar el tamaño muestral.

Ejemplo:

N= 1000(tamaño de población) n=5(tamaño de muestra)

Factor de elevación :N/n=1000/5=20 esto significa que cada elemento de la muestra representa a 20 elementos de la población.

Podemos elegir un número al azar: 35 y luego al ir sumando 20 obtenemos los lugares de los 5 elementos que componen la muestra.

Primer elemento de la muestra: 35

Segundo elemento de la muestra: 35+20

Tercer elemento de la muestra: 35+20+20

Cuarto elemento de la muestra: 35+20+20+20

Quinto elemento de la muestra: 35+20+20+20+20

Entonces formamos la muestra con 5 elementos de la población que ocupan los lugares:

35, 55, 75, 95, 115.

Este muestreo es muy sencillo y similar al muestreo aleatorio simple. Tiene el inconveniente de que si los elementos de la población están ordenados según algún criterio, se puede originar un sesgo de selección.

Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.)

Diseños de Muestreo se le llama al conjunto de técnicas para seleccionar una muestra probabilística.

Los diseños pueden ser variados, muestreo estratificado, muestreo sistemático, muestreo por conglomerados y muestreo aleatorio simple.

El muestreo aleatorio simple, es aquél que tiene estas dos condiciones:
a) cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. Con esta condición se está evitando el riesgo del sesgo de selección.
b) los elementos se seleccionan de uno en uno y con reposición, lo que asegura que la población permanece igual en todas las extraciones.

Que la extracción de la muestra se realice con o sin reposición pierde importancia cuando el tamaño de la población es muy grande (N) con respecto al tamaño de la muestra (n).

Este procedimiento de muestreo es recomendado cuando todos los elementos de la población son muy similares o son sustituibles o intercambiables unos con otros.