Clasificar Variables

Clasificar las siguientes variables en cualitativas (nominales y ordinales) o cuantitativas (discretas y contínuas).

1) Rendimiento escolar de jóvenes de 18 a 25 años.
2) Litros de leche adquiridos por un comedor estudiantil.
3) Niveles de glucosa en diabéticos.
4) Número de empleados en un laboratorio.
5) Consumo de electricidad de 20 computadoras conectadas a internet.

Teorema Central del Límite

El Teorema Central del Límite es aquél que nos permite realizar inferencias con la distribución Normal, cuando el tamaño de muestra es mayor o  igual a 30.

Nos habla de la distribución que tiene la media muestral.

Si tenemos una población con distribución de probabilidad Normal, todas las muestras extraidas de esa población también tendrán distribución Normal. Y por lo tanto la distribución de las medias muestrales será Normal.

Si tenemos una población con distribución de probabilidad desconocida, todas las muestras extraidas de esa población, si son de tamaño mayor o igual a 30, también tendrán distribución Normal.

Si tenemos una población con distribución de probabilidad desconocida, las muestras tomadas de esa población que sean de tamaño menor a 30, no tendrán distribución Normal.

Tendremos que utilizar la distribución "T" de Student.

Distribución "T" de STUDENT

La Distribución de Student, se utiliza cuando el tamaño de muestra es pequeño.
Se entiende tamaño muestral pequeño cuando es menor a 30.

Algunas propiedades de la distribución son:

1)Es una distribución contínua
2)Tiene forma de campana y es simétrica.
3) Hay una familia de distibuciones "T".
4) Todas tienen media igual a cero.
5) Sus desviaciones estándares difieren de acuerdo con el tamaño de muestra "n".
6) La forma de la distribución "T" es más extendida que la forma de la distribución Normal "Z".
7) A medida que aumenta "n" (el tamaño de muestra ) la distribución "T" se parece más a la distribución "Z".
8) La distribución "T" tiene grados de libertad, que son "n-1".

Variable Cualitativa 0rdinal: gráfica

La variable cualitativa ordinal, grafica las frecuencias absolutas simples en un gráfico de barras, que también puede tomar esta forma:

Gráfica variable ordinal

La variable cualitativa ordinal, tiene que graficar sus frecuencias absolutas simples, con un gráfico de barras separadas.
En el eje de las "x" solo se colocan las categorías de la variable, que en este caso es el "nivel educativo"  .
En el eje de las "y" se colocan las frecuencias absolutas simples.
La variable ordinal, tiene frecuencias acumuladas, ya sean absolutas o relativas, pero estas frecuencias no se grafican.

Propiedades de los Estimadores

Los estimadores tienen 3 propiedades:

1) INSESGAMIENTO.
Se dice que un estimador es insesgado cuando su valor medio es igual al paràmetro que estiman.
La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.
La varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional.

El sesgo de un estimador es la diferencia entre la esperanza del estimador y el verdadero valor del parámetro a estimar.

Puede haber casos en los que hay varios estimadores insesgados para el mismo parámetro de interès.

2) EFICIENCIA.
Eficiencia o mínima varianza. Se debe elegir simpre aquèl estimador que tenga la varianza màs pequeña.

3) CONSISTENCIA.
Esta propiedad indica que a medida que el tamaño de muestra aumenta, la probabilidad de que la diferencia entre el parámetro y el estimador sea mayor que un número muy pequeño (llamado èpsilon) es nula.

Intervalo de Confianza para Media Poblacional

Ejercicio:

Hallar el intervalo de confianza para la media poblacional conociendo la desviaciòn estàndar muestral igual a 0,36, la media muestral igual a 1,62, y el tamaño de muestra n= 50.
El intervalo de confianza debe tener un nivel de significaciòn del 5%.

En este caso corresponde utilizar la distribución de probabilidad Normal, pues el tamaño de muestra es mayor que 30.
El valor correspondiente a un nivel de significaciòn del 5% , es de Z=1,96.

La fòrmula a utilizar es la siguiente:

Sustituimos los valores:

Y haciendo los càlculos obtenemos , el error de estimaciòn: 0,10.

Y obtenemos los límites del intervalo de confianza para la media poblacional.

El lìmite inferior es: 1,52

El lìmite superior es : 1,72

Intervalo de Confianza: MEDIAS

Calcularemos un intervalo de confianza para la media poblacional, conociendo el tamaño de muestra n=50, la media muestral 1, 62, y la desviaciòn tìpica muestral de 0,36.

En este caso tambièn utilizaremos la distribuciòn de probabilidad Normal (Z) , pues el tamaño de muestra es superior a 30.

El valor correspondiente al 90% de confianza, es z=1,645 y el nivel de significaciòn (alfa) es 10%.

Con todos estos datos vamos a sustituir en la fòrmula siguiente:

Realizamos los càlculos, y el intervalo nos queda como sigue:

O sea que tenemos un 90% de probabilidad de que la media poblacional desconocida se encuentre entre 1,536 y 1,704.

Intervalo de Confianza -Ejercicio

Intervalo de Confianza para la Media Poblacional

Una variable tiene distribuciòn Normal desviaciòn tìpica poblacional 6. Se toma una muestra de tamaño 40, cuya media es igual a 26.
Construir el intervalo de confianza al 5% de nivel de significaciòn.
La fòrmula a utilizar es la siguiente:

Estas expresiones, son respectivamente:

Límite inferior Error de estimaciòn Limite superior

Ahora sustituimos por los valores:

La media muestral es 26, la desviaciòn tìpica poblacional es 6. Y el valor de la distribuciòn "Z" es el correspondiente al 5% de nivel de significaciòn, o sea z=1,96.

Realizando los càlculos, nos queda el error de estimaciòn= 1,86.

El lìmite inferior= 24,14 Y el lìmite superior=27,86

O sea que tenemos una probabilidad del 95% de que el parámetro poblacional desconocido, se encuentre entre 24,14 y 27,86.

Intervalo de Confianza

El intervalo de confianza para la media poblacional, cuando el tamaño de muestra es mayor o igual a 30, o cuando se conoce la varianza poblacional, o la desviaciòn tìpica poblacional, se debe calcular con la Distribuciòn de probabilidad Normal.

La fòrmula a utilizar es la siguiente:

Donde:

n= tamaño de muestra

El nivel de significaciòn, nos indicarà el valor de la distribuciòn "Z". Generalmente se utilizan los tres casos siguientes:

Si el nivel es 1%------Z=2,58

Si el nivel es 5%------Z=1,96

Si el nivel es 10%-----Z=1,645

Estimaciòn-Estadìstica Inferencial

La Estadìstica Inferencial, se ocupa de estimar los paràmetros de la poblaciòn , a partir de los estadìsticos muestrales.

Para estimar hay varios procedimientos. Uno de ellos es la estimaciòn por intervalos de confianza.

Aquì lo que corresponde es dar un intervalo, un rango de variaciòn, donde presumiblemente , o prbablemente se hallen los paràmetros poblacionales.

Los intervalos de confianza, se calculan para la media poblacional, para la proporciòn poblacional, para la varianza poblacional. Y tambièn para diferencias de medias o diferencias de proporciones.

Hay que tener claro cual es la distribuciòn de probabilidad a utilizar. Por ejemplo , si estamos calculando un intervalo de confianza para la media poblacional, podrìamos utilizar la distribuciòn "Z" ( Distribuciòn Normal) o la distribuciòn "t" (Distribuciòn Student).

Cuando el tamaño de muestra es mayor o igual a 30, corresponde utilizar la Distribuciòn Normal. También utilizamos esta distribuciòn si conocemos la varianza poblacional, o la desviaciòn tìpica poblacional.

Para utilizar la Distribuciòn "t" de Student, tiene que darse 2 condiciones:

1) El tamaño de muestra debe ser menor a 30.

2) Desconocer la varianza poblacional, o desviaciòn tìpica poblacional.