Distribución de Probabilidad Exponencial

La distribución de probabilidad EXPONENCIAL, tiene la variable aleatoria "X" que expresa el tiempo de espera hasta que se produce cierto suceso.

La función de densidad es la siguiente:

Tiene un solo parámetro: lambda, que a su vez está en la media y en la varianza.

Importante: la exponencial no tiene memoria.

Significa que si queremos calcular la probabilidad de que una máquina esté funcionando "x" cantidad de horas, será lo mismo que si calculamos la probabilidad de que la máquina funcione "x" cantidad de horas sabiendo que ya estuvo funcionando "y" cantidad de horas.

La media de la distribución Exponencial es:

La varianza de la distribución Exponencial es:

Y como siempre, si queremos la desviación típica o estándar, basta con calcular la raíz cuadrada de la varianza.

Ejercicios: Distribución Hipergeométrica

Ejercicio:
En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.
¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?
Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:
N=tamaño de población =20
n=tamaño de muestra=12
A=éxitos en la población=rosas=8
k=éxitos en la muestra=rosas=3

Sustituimos los valores en la fórmula original:

Luego realizamos los cálculos y obtenemos:

La probabilidad pedida es 0,0978; como siempre es un numero que debe estar comprendido entre cero y uno.

Distribución de probabilidad Hipergeométrica

La distribución de probabilidad HIPERGEOMÉTRICA es para variables discretas.

Es muy parecida a la distribución Binomial. Tenemos un experimento con dos sucesos , pero la muestra se toma sin reposición, y la población es finita.

Por lo tanto la probabilidad de "éxito" en una observación queda afectada por los resultados de las observaciones previas.

La función de cuantía es :

Donde:

N=tamaño de la población

n= tamaño de la muestra

A= éxitos en la población

k= éxitos en la muestra.

La fórmula de cálculo de la media es:

La fórmula de cálculo de la varianza es la siguiente:

Recordemos que si queremos hallar la desviación típica o estándar simplemente calculamos la raíz cuadrada de la varianza.

Distribución Geométrica: ejercicio

Ejercicio:

Realizamos el experimento aleatorio de "tirar una moneda", y concideramos "éxito" que salga "cara". Pero queremos que salga "cara" en la séptima tirada, por primera y única vez.

Este experimento se modela por la distribución de Probabilidad Geométrica.

Esta distribución es un caso particular de la Distribución Binomial, pues se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza el experimento.

La probabilidad de que salga cara es p=1/2 , la probabilidad de fracaso también q=1/2.

Calcularemos también la varianza:

Y la esperanza o media:

Distribucion de probabilidad Geométrica

La distribución de probabilidad GEOMÉTRICA es para variables discretas.

El experimento aleatorio tiene dos sucesos, al igual que la distribución Binomial. Un suceso es llamado "éxito", y el otro suceso se llama "fracaso".

Se realiza el experimento "n" veces, y se quiere que el "éxito" ocurra unicamente (primera y única vez) la última vez que se realiza el experimento.

La función de cuantía es la siguiente:

x=es el número de repeticiones del experimento hasta que ocurra un éxito.
Debe ser el único éxito, y debe ser la primera vez que ocurre el éxito.
p=probabilidad de éxito.
q= probabilidad de fracaso.

La fórmula para la media de la distribución es :

La varianza de la distribución Geométrica es:

Gráfico Circular

Aquí tenemos otro gráfico circular.
Le hemos dado mayor grosor al círculo, y además hemos esfumado el fondo rojizo.

Otro detalle: el título está subrayado. Sin duda MSExcel nos permite muchos cambios y combinaciones para resaltar los gráficos.
A practicar! Elige tus formatos y tus colores!

Variables nominal y su gráfica.

La variable cualitativa nominal se acompaña de una gráfica circular.

Generalmente se grafican las frecuencias porcentuales, en una gráfica circular llamada "pastel" o "torta".

Distribución de Frecuencias y Variables estadísticas.

Las distribuciones de frecuencias pueden ser:

1) Absolutas: es la cantidad de observaciones para cada valor de la variable.
2) Relativas: es la cantidad de observaciones para cada valor de la variable en relación al total de observaciones.
3) Acumuladas: se pueden acumular tanto las frecuencias relativas como las absolutas.
4) Porcentuales: se multiplican por 100 las frecuencias relativas, simples o acumuladas.
Cuando acumulamos las frecuencias relativas debemos recordar que siempre se llega a la unidad.

Cada tipo de variable tiene sus frecuencias.

A la variable cualitativa nominal, solo se le puede calcular las frecuencias absolutas y relativas simples. Esta variable no acumula frecuencias, pues entre sus categorías no hay relación de orden.
A la variable cualitativa ordinal, si, se le pueden calcular las frecuencias acumuladas, pues entre sus categorías se puede establecer una relacion de mayor o menor.

A las variables cuantitativas discretas y contínuas, se les calcula todas las frecuencias, ya sean absolutas y relativas simples y acumuladas.
Pues al ser numéricas se puede establecer entre sus categorías relaciones de orden.

Cálculo de la MODA: ejemplos

Hemos recibido varias consultas sobre el cálculo de la MODA, y su concepto.

Comencemos entonces diciendo que la moda, es el valor de la variable que se repite más veces, es decir que tiene la mayor frecuencia.

Ejemplos:

1) En este caso tenemos una sola moda, que es el número x=6 , pues se repite 7 veces.




2) En este caso tenemos dos modas que son los números x=5 y x=11, pues ambos tienen la mayor frecuencia que es 8.

Se dice que la distribución es "bimodal".

3) En este otro caso tenemos 3 modas, que son los números x=22, x=25 y x=27 , pues se repiten cuatro veces cada uno, y esa es la mayor frecuencia.

Se dice que la distribución es "trimodal".

Calcular MEDIA: datos agrupados

Ejercicio:

Calcularemos la media para los siguientes datos:

2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 12


1) Los agrupamos en una tabla de frecuencias.
Para ello contamos cuantas veces se repiten cada uno de los números, y vamos colocando cada observación con su correspondiente repetición.
La tabla queda como se muestra a continuación:

2) Multiplicamos las observaciones por las frecuencias.

3) Aplicamos la siguiente fórmula:

4) Dividimos el total de la tercera columna entre el total de observaciones.

Ya hemos obtenido la media, o promedio de un conjunto de números.

Distribución de Poisson: Ejercicio

Ejercicio:
El número promedio de personas que realizan transacciones en un cajero automático cada 10 minutos es de 3,4 personas.
Calcular la probabilidad de que en 10 minutos cualesquiera, se realizen:
1) menos de 2 transacciones.
2) más de 2 transacciones.

Solución:
Lo primero que debemos buscar en la letra del ejercicio es el parámetro de la distribución de Poisson, que en este caso es el promedio(lambda) 3,4.
Luego solo resta aplicar la fórmula:

1) menos de 2 transacciones: calculamos la probabilidad de que se produzcan cero transacción, y una transación. Luego sumamos

2) más de 2 transacciones: debemos calcular la probabilidad desde 3 transaciones , hasta infinito.

Como no resulta posible, utilizamos la propiedad de que la probabilidad de todo el espacio muestral suma uno.

Luego restamos al total(1) , las probabilidades faltantes ( 0, 1 y 2)

Distribución de Probabilidad de Poisson

La Distribución de Poisson, es una distribución para variables discretas, al igual que la distribución Binomial.

La diferencia radica en que , la variable discreta debe darse en un intervalo contínuo.

Por ejemplo: cantidad de personas que entran durante una hora en un cajero automático .

Variable discreta=cantidad de personas.

Intervalo contínuo= una hora

La fórmula de la distribución de Poisson es la siguiente:

Podemos observar que el único parámetro de esta distribución es lamda.

Este parámetro coincide con la media

Y la varianza de la distribución.

Distribución de Probabilidad Uniforme (contínua)

La distribución de probabilidad uniforme contínua, es aquella donde la variable "x"representa un punto elegido al azar entre los valores "a" y "b".

Se dice que la variable "X" se distribuye uniforme entre "a" y "b".

Ejercicio Distribución Binomial

Explicaremos el típico ejercicio de distribución Binomial.

Tirar una moneda es un experimento que se modela con la distribución binomial, pues tien dos sucesos posibles: 1) que salga cara, 2) que salga cruz.

Ejemplo: Se lanza una moneda 12 veces , calcular la probabilidad de obtener 7 caras.

Calculamos:

La probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda: p= 1/2 ( utilizando la fórmula clásica de casos favorables, dividido casos posibles).
Calculamos la probabilidad de fracaso, que en este caso coincide con la probabilidad de éxito. Ambas son 1/2. O sea q=1/2.
Realizamos el experimento 12 veces, por lo tanto n=12. Finalmente la cantidad de éxitos que deseamos obtener es k=7.


Finalmente sustituimos en la fórmula de la distribución binomial:

Distribución de Probabilidad Binomial

Se realiza un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:

1) El experimento solo puede tener 2 resultados posibles, llamados "éxito" y "fracaso".

2) La probabilidad de éxito en cada una de las observaciones es constante, e igual a "p".

3) El resultado "éxito" o "fracaso" de cualquier observación es independiente del resultado de otra observación.

4) El experimento se realiza "n" veces.

Función de Probabilidad:

X= variable aleatoria

p= probabilidad de éxito.

q= probabilidad de fracaso. (1-p)

n= número de veces que se realiza el experimento

k= número de "éxitos" en las "n" pruebas.

Esperanza E(x)=np Varianza V(x)=npq

Gráfica Distribución Normal

La Distribución Normal , es una de las distribuciones más utilizadas en Estadística Inferencial.

Graficar la Distribución Normal correctamente resulta indispensable. La campana es simétrica, y está centrada en su media.

Sus parámetros son la media y la desviación típica, y según estos números van variando también cambia la forma de la distribución; pudiendo ser más "alta", mas "aplastada",o más "estirada".

Se observan 3 casos:

1) Mesocúrtica. 2) Platicúrtica. 3) Leptocúrtica

Funcion de Distribución Acumulada: OJIVA

La Función de Distribución Acumulada, como su nombre lo indica, es para graficar las frecuencias absolutas acumuladas, o las frecuencias relativas acumuladas.

Se le suele llamar Ojiva. Esta gráfica se puede realizar para variables cuantitativas contínuas o para variables cuantitativas discretas.

En esta oportunidad graficaremos para variables cuantitativas contínuas. Se deben unir los límites superiores de los intervalos de clase , con la frecuencia acumulada. Así se va logrando que la gráfica quede ascendente.

Polígono: variables cuantitativas

El Polígono es una gráfica que se realiza para las variables cuantitativas contínuas. Es una gráfica lineal, que puede graficarse sola, o en la misma gráfica que el Histograma.

En esta ocasión, éste es el procedimiento que seguiremos. Graficaremos juntos el Histograma y el Polígono.

Para graficarlo se deben unir las marcas de clase de cada intervalo, con la frecuencia absoluta simple o relativa simple. La frecuencia debe ser la correspondiente a cada intervalo de clase.

Además se debe agregar, un intervalo anterior al primero, y luego un intervalo posterior el último.

Se indican las marcas de clase de estos dos intervalos, y se completa la gráfica, llevando hasta el eje "x" la línea que indica el Polígono.

Histograma: variables en intervalos

El Histograma , es una gráfica para variables agrupadas en intervalos. Generalmente es para variables contínuas.

Para graficarlo, se colocan en el eje de las "x" , los valores de los intervalos de clase, y en el eje de las "y", las frecuencias absolutas , o las frecuencias relativas . Pero siempre deben ser frecuencias simples. Recordemos que también existen frecuencias acumuladas, pero éstas se grafican con otro tipo de gráfico.