Ejercicio resuelto: Probabilidad Condicional

Hoy realizaremos un ejemplo de cálculo, de la probabilidad condicional.

Ejercicio:

En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos.Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no.

Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:

Calcular:

1) La probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un encargado, sabiendo que no tiene ordenador.

Lo primero que debemos hacer es indicar cual es la probabilidad pedida, y cual es la condición.

Suceso A: la persona sea un encargado ( suceso pedido)

Suceso B: no tiene ordenador ( suceso que condiciona)

2) Si se sabe que la persona elegida es un administrativo, cual es la probabilidad de que sea alguien que tenga ordenador.

Suceso A: la persona con ordenador (suceso pedido)

Suceso B: la persona es un administrativo (suceso que condiciona)

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional, se utiliza, cuando un suceso está condicionado por otro.Esto sucede, cuando se nos dice, por ejemplo:

1) "calcular la probabilida del suceso A, sabiendo..."

2) "calcular la probabilidad del suceso A , tal que..."

3) " si... calcular la probabilidad del suceso A "

4) " dado que.... calcular la probabilidad del suceso A"

Todas las palabras que nos indiquen el condicional, nos ayudarán a entender que un suceso está condicionado por otro.

En este caso la fórmula a utilizar será:

Esta probabilidad, es el cociente de dos probabilidades. En el numerador, se calcula la probabilidad de la intersección, y en el denominador la probabilidad del suceso que condiciona.

Ejercicio de Probabilidad

Realizaremos un ejemplo de cálculo de probabilidad cuando los sucesos no son excluyentes, o sea cuando los sucesos tienen algo en común.

Ejercicio:

En una empresa hay 75 empleados, entre encargados y administrativos, algunos utilizan ordenador, y otros no. Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:

Calcular la probabilidad de elegir un empleado al azar, y que sea un administrativo o alguien que no tenga ordenador.

Lo primero es indicar los sucesos.

Suceso A: un administrativo.

Suceso B: empleado sin ordenador.

Aplicamos la siguiente fórmula:

Calculamos, las probabilidades simples, y luego la probabilidad de la intersección, que debemos restar:
Siempre verificar que el resultado de la probabilidad sea un número entre cero y uno.

Sucesos Independientes

En probabilidad los sucesos independientes, son aquellos que no se influyen entre sí. O sea que porque ocurra uno de ellos, no tiene porque ocurrir el otro suceso.

Ejemplo.

Suceso A: que llueva el lunes.

Suceso B: que salve el exámen.


Para calcular la probabilidad de dos sucesos independientes, se calculan por separado las probabilidades de cada suceso, y luego se multiplican.



Se aplica la siguiente fórmula:

Sucesos Excluyentes

En probabilidad se llaman sucesos excluyentes, a aquellos que son incompatibles, o disjuntos, o sea cuando entre esos sucesos, no hay nada en común.

Dicho de otra manera, serían sucesos excluyentes, cuando la intersección de ambos es el conjunto vacío.

Calcular la probabilidad de sucesos excluyentes, es muy sencillo:

O sea que se suman, las probabilidades simples, de cada uno de los sucesos que componen el suceso a calcular.

Si los sucesos no son excluyentes, y hay intersección entre los conjuntos entonces se debe restar, esa parte que tienen en común.

La fórmula sufre una pequeña modificación:

Debemos calcular las probabilidades simples, y luego restar la intersección de ambos conjuntos.

Ejercicio: tirar un dado

Otro ejemplo, de que la probabilidad de todo el espacio muestral siempre vale uno, lo constituye, el clásico ejercicio de tirar un dado.

Al tirar un dado, el espacio muestral está compuesto por los números del 1 al 6. Calculando la probabilidad de cada número, utilizando la fórmula de casos favorables, sobre casos posibles, nos irá dando siempre 1/6.

Casos favorables: un solo número de cada uno.

Casos posibles: siempre son 6.

Por lo tanto, siempre será 1/6.

Al tener 6 sextos multiplicado por 6, nos dá uno.

La probabilidad de todo el espacio muestral siempre suma la unidad.

Espacio Muestral: ejercicio

La probabilidad de todo el espacio muestral, siempre suma uno.

Recordemos , cual es el espacio muestral de tirar una moneda: cara, cruz.

La definición clásica de probabilidad, nos indicaba calcular , los casos favorables, dividido los casos posibles.

Así, la probabilidad de que salga cara será: un caso favorable, sobre dos casos posibles.

Lo mismo, si calculamos la probabilidad de que salga cruz: un caso favorable, sobre dos casos posibles.

Luego sumamos ambas probabilidades, y lógicamente, nos da uno.

La probabilidad de todo el espacio muestral siempre suma uno.

Propiedades de la probabilidad

Las propiedades de la probabilidad más importantes son:

Significa, que la probabilidad nunca puede ser negativa, ni tampoco superar el número 1.

Su rango de variación, está entre cero y uno.

Significa, que la probabilidad de todo el espacio muestral siempre vale 1.

La tercera propiedad, nos indica que la probabilidad del conjunto vacío, es cero.

La cuarta propiedad , indica , que al tener 2 sucesos que unidos completan todo el espacio muestral la probabilidad de uno de ellos, se podrá calcular, restando al total (1) la probabilidad del otro
suceso. Aquí se está utilizando la propiedad número 2.

Probabilidad

Para calcular la probabilidad, la fórmula más sencilla, es la fórmula de la probabilidad clásica

Esta indica, dividir, el número de casos favorables a cierto evento, sobre el número de casos posibles del experimento aleatorio.

El ejemplo, más sencillo, es el de tirar un dado.

¿Cúal es la probabilidad de que salga el número 3 al tirar un dado?

Siempre debemos verificar que el resultado sea un número, comprendido entre cero y la unidad

Espacio muestral-Sucesos-eventos

Cuando realizamos un experimento aleatorio, vamos a estar relacionándonos con la probabilidad.

Un experimento aleatorio es aquél en el que conocemos todos los resultados que van a ocurrir, pero no sabemos cúal de ellos ocurrirá.

O sea al tirar un dado, sabemos que pueden salir los números del 1 al 6; pero no podemos saber cuál de ellos ocurrirá.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados que sabemos que pueden salir, es el conjunto grande.

Se asocia al concepto de población.

Suceso o evento: es un subconjunto de ese espacio muestral. Se asocia al concepto de muestra.

Ejemplos:

Tirar un dado

a) ESPACIO MUESTRAL : 1, 2, 3, 4, 5, 6,

b) SUCESO o EVENTO: "que salga el número 3"

Tirar una moneda.

a) ESPACIO MUESTRAL: cara, cruz

b) SUCESO o EVENTO: "que salga cara"