Chi Cuadrado: ejercicio

Las variables, que utilizaremos para el ejemplo son: 1) Taller de capacitación 2) Actitud empresarial Las dos variables, tienen dos categorías. Los datos del primer cuadro se llaman "Valores observados", pues fueron obtenidos, u observados en el experimento. Los datos del segundo cuadro, se llaman "Valores esperados". Estos valores se obtienen multiplicando el total de cada fila por el total de cada columna, y dividiendo entre el total general (200)

Luego, corresponde aplicar la fórmula de chi cuadrado:

Realizamos los cálculos:

Y obtenemos un valor de Chi cuadrado:

Que nos indica que hay Asociación entre las variables estudiadas, pues está lejano de cero.Pero la Asociación, no es muy fuerte, se podria decir, que es una asociación débil, o moderada.

También hemos hablado de chi cuadrado en los post de: 18/10/08,y 20/10/08 .

Puede ser útil consultarlos.

Chi Cuadrado: concepto

Uno de nuestros lectores, nos ha pedido ayuda para la realización de un ejemplo de Chi Cuadrado.
Nos ha enviado los datos, y nosostros hemos realizado los cálculos, y las interpretaciones.

Se trata de ver la asociación de dos variables cualitativas nominales, ambas con dos categorías. Tendríamos que calcular el coeficiente de Cramer, o el coeficiente de Contingencia, para ver exactamente el grado de asociación de las variables

Recordamos que los Coeficientes mencionados, varian entre cero y uno. Indicando, falta de asociación, o asociación muy débil cuando se acerca a cero. Y asociación fuerte cuando se acerca a la unidad.

Si se quiere realizar el cálculo solo de Chi Cuadrado, la interpretación es similar. Si chi cuadrado es un número próximo a cero, la asociación será muy débil, y al ir creciendo, la asociación se hará más fuerte.
Cabe recordar, que Chi Cuadrado, no tiene rango de variación.

Las variables involucradas, en este estudio, son:
1) Taller de capacitación
2) Actitud empresarial, o Formación Empresarial

Intuitivamente diríamos que hay relación o asociación, entre capacitarse, y la actitud, o la formación que luego tenga la persona.

Ahora, haremos los cálculos.

Ejercicio resuelto: Probabilidad Condicional

Hoy realizaremos un ejemplo de cálculo, de la probabilidad condicional.

Ejercicio:

En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos.Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no.

Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:

Calcular:

1) La probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un encargado, sabiendo que no tiene ordenador.

Lo primero que debemos hacer es indicar cual es la probabilidad pedida, y cual es la condición.

Suceso A: la persona sea un encargado ( suceso pedido)

Suceso B: no tiene ordenador ( suceso que condiciona)

2) Si se sabe que la persona elegida es un administrativo, cual es la probabilidad de que sea alguien que tenga ordenador.

Suceso A: la persona con ordenador (suceso pedido)

Suceso B: la persona es un administrativo (suceso que condiciona)

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional, se utiliza, cuando un suceso está condicionado por otro.Esto sucede, cuando se nos dice, por ejemplo:

1) "calcular la probabilida del suceso A, sabiendo..."

2) "calcular la probabilidad del suceso A , tal que..."

3) " si... calcular la probabilidad del suceso A "

4) " dado que.... calcular la probabilidad del suceso A"

Todas las palabras que nos indiquen el condicional, nos ayudarán a entender que un suceso está condicionado por otro.

En este caso la fórmula a utilizar será:

Esta probabilidad, es el cociente de dos probabilidades. En el numerador, se calcula la probabilidad de la intersección, y en el denominador la probabilidad del suceso que condiciona.

Ejercicio de Probabilidad

Realizaremos un ejemplo de cálculo de probabilidad cuando los sucesos no son excluyentes, o sea cuando los sucesos tienen algo en común.

Ejercicio:

En una empresa hay 75 empleados, entre encargados y administrativos, algunos utilizan ordenador, y otros no. Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:

Calcular la probabilidad de elegir un empleado al azar, y que sea un administrativo o alguien que no tenga ordenador.

Lo primero es indicar los sucesos.

Suceso A: un administrativo.

Suceso B: empleado sin ordenador.

Aplicamos la siguiente fórmula:

Calculamos, las probabilidades simples, y luego la probabilidad de la intersección, que debemos restar:
Siempre verificar que el resultado de la probabilidad sea un número entre cero y uno.

Sucesos Independientes

En probabilidad los sucesos independientes, son aquellos que no se influyen entre sí. O sea que porque ocurra uno de ellos, no tiene porque ocurrir el otro suceso.

Ejemplo.

Suceso A: que llueva el lunes.

Suceso B: que salve el exámen.


Para calcular la probabilidad de dos sucesos independientes, se calculan por separado las probabilidades de cada suceso, y luego se multiplican.



Se aplica la siguiente fórmula:

Sucesos Excluyentes

En probabilidad se llaman sucesos excluyentes, a aquellos que son incompatibles, o disjuntos, o sea cuando entre esos sucesos, no hay nada en común.

Dicho de otra manera, serían sucesos excluyentes, cuando la intersección de ambos es el conjunto vacío.

Calcular la probabilidad de sucesos excluyentes, es muy sencillo:

O sea que se suman, las probabilidades simples, de cada uno de los sucesos que componen el suceso a calcular.

Si los sucesos no son excluyentes, y hay intersección entre los conjuntos entonces se debe restar, esa parte que tienen en común.

La fórmula sufre una pequeña modificación:

Debemos calcular las probabilidades simples, y luego restar la intersección de ambos conjuntos.

Ejercicio: tirar un dado

Otro ejemplo, de que la probabilidad de todo el espacio muestral siempre vale uno, lo constituye, el clásico ejercicio de tirar un dado.

Al tirar un dado, el espacio muestral está compuesto por los números del 1 al 6. Calculando la probabilidad de cada número, utilizando la fórmula de casos favorables, sobre casos posibles, nos irá dando siempre 1/6.

Casos favorables: un solo número de cada uno.

Casos posibles: siempre son 6.

Por lo tanto, siempre será 1/6.

Al tener 6 sextos multiplicado por 6, nos dá uno.

La probabilidad de todo el espacio muestral siempre suma la unidad.

Espacio Muestral: ejercicio

La probabilidad de todo el espacio muestral, siempre suma uno.

Recordemos , cual es el espacio muestral de tirar una moneda: cara, cruz.

La definición clásica de probabilidad, nos indicaba calcular , los casos favorables, dividido los casos posibles.

Así, la probabilidad de que salga cara será: un caso favorable, sobre dos casos posibles.

Lo mismo, si calculamos la probabilidad de que salga cruz: un caso favorable, sobre dos casos posibles.

Luego sumamos ambas probabilidades, y lógicamente, nos da uno.

La probabilidad de todo el espacio muestral siempre suma uno.

Propiedades de la probabilidad

Las propiedades de la probabilidad más importantes son:

Significa, que la probabilidad nunca puede ser negativa, ni tampoco superar el número 1.

Su rango de variación, está entre cero y uno.

Significa, que la probabilidad de todo el espacio muestral siempre vale 1.

La tercera propiedad, nos indica que la probabilidad del conjunto vacío, es cero.

La cuarta propiedad , indica , que al tener 2 sucesos que unidos completan todo el espacio muestral la probabilidad de uno de ellos, se podrá calcular, restando al total (1) la probabilidad del otro
suceso. Aquí se está utilizando la propiedad número 2.

Probabilidad

Para calcular la probabilidad, la fórmula más sencilla, es la fórmula de la probabilidad clásica

Esta indica, dividir, el número de casos favorables a cierto evento, sobre el número de casos posibles del experimento aleatorio.

El ejemplo, más sencillo, es el de tirar un dado.

¿Cúal es la probabilidad de que salga el número 3 al tirar un dado?

Siempre debemos verificar que el resultado sea un número, comprendido entre cero y la unidad

Espacio muestral-Sucesos-eventos

Cuando realizamos un experimento aleatorio, vamos a estar relacionándonos con la probabilidad.

Un experimento aleatorio es aquél en el que conocemos todos los resultados que van a ocurrir, pero no sabemos cúal de ellos ocurrirá.

O sea al tirar un dado, sabemos que pueden salir los números del 1 al 6; pero no podemos saber cuál de ellos ocurrirá.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados que sabemos que pueden salir, es el conjunto grande.

Se asocia al concepto de población.

Suceso o evento: es un subconjunto de ese espacio muestral. Se asocia al concepto de muestra.

Ejemplos:

Tirar un dado

a) ESPACIO MUESTRAL : 1, 2, 3, 4, 5, 6,

b) SUCESO o EVENTO: "que salga el número 3"

Tirar una moneda.

a) ESPACIO MUESTRAL: cara, cruz

b) SUCESO o EVENTO: "que salga cara"

Estadistica Descriptiva e Inferencial

La estadística descriptiva, describe la muestra.

La estadística inferencial, se ocupa de la población.

La población, es aquél conjunto grande, numeroso, del cual se quiere obtener información.

Por ser complicado, trabajar con un conjunto tan grande, es que se toman muestras.

Las muestras , son conjuntos pequeños, pero representativos de la población.

El puente, entre la estadística descriptiva, y la estadística inferencial, es la probabilidad.

De allí , su importancia en el estudio dentro de la Estadistica. 

Para pasar de la estadística descriptiva a la estadística inferencial se necesita de los modelos de probabilidad , y de los métodos de estimación.

Los métodos de estimación más usados, son los Intervalos de Confianza, y las Pruebas de Hipótesis.

Datos originales: cuartiles

Los datos a los que les calcularemos los cuartiles son:

2, 2, 4, 4, 8, 10

Para el cálculo del primer cuartil, usaremos dos fórmulas de posicionamiento.

Si el valor obtenido da con decimal , se aproxima al entero más cercano, mayor.
Luego se suman los valores de la variable, y se divide entre 2.



En este caso, buscamos los valores correspondientes a la posición 2, y 3.
Son los valores, 3 y 4.





Para el cálculo del tercer cuartil, hacemos lo mismo, buscamos dos lugares de posicionamiento

y si dan con decimal, se aproximan al entero mas cercano , menor.

En este caso, buscamos los valores de la variable, que ocupen el lugar 4 y 5.

O sea los valores 4 y 8.

Siempre se obtiene , un solo primer cuartil, y un solo tercer cuartil.

Datos sin agrupar: media moda mediana

Los datos sin agrupar, son los datos originales. Como vienen dados de la encuesta que se realizó para obtenerlos. En este post supondremos que la cantidad de datos es una cantidad par : 10, 2, 2, 4, 4, 8 Lo primero a realizar, es ordenarlos: 2, 2, 4, 4, 8, 10

 Calcularemos la media:

El procedimiento es el mismo que si la cantidad de datos fuera impar. Se suman todos los valores, y se divide entre la "n"

Al sumar nos da : 30

Al dividir entre 6, obtenemos la media.

Media: 5

Para calcular la moda, o modo, se ve cual valor se repite más veces. En este ejercicio, hay dos modas, el 2 y el 4 . Se dice que la distribución es bimodal. Para el cálculo de la mediana, utilizaremos dos fórmulas para los lugares de posicionamiento.

Buscamos los valores que ocupan el lugar 3, y el lugar 4 , que son respectivamente:4 y 4.

Luego se suman y se dividen entre 2.

Coeficiente de Variacion, Rango Intercuartílico

Otras medidas que componen el conjunto de medidas de posición, son el coeficiente de variación, que se expresa en porcentaje, y el rango intercuartílico.


Para el cálculo del coeficiente de variación, se debe calcular previamente, la desviacíon típica y la media.









Para el cálculo, del rango intercuartílico, se debe tener calculado previamente, el primer y el tercer cuartil.


Todos los cálculos anteriores se corresponden con el ejemplo que venimos desarrollando, en los post anteriores.

Varianza, Desviación Típica:datos originales

La varianza y la desviación típica o estándar, constituyen parte de las medidas de dispersión.

Continuando con el ejemplo numérico, los valores de la variable a los que les aplicarmos las fórmulas son:

3, 3, 3, 4, 5, 8, 9, 9, 10

Para calcular la varianza utilizaremos la siguiente fórmula, que requiere del cálculo previo de la media ( que ya la tenemos calculada del post anterior) , recordemos que su valor era: 6



La desviación típica o estándar, es la raiz cuadrada de la varianza. Y es por eso que adquiere mayor relevancia, pues queda expresada en las unidades de la variable.

Medidas de tendencia no central: datos originales

Continuaremos, con los números del ejemplo del post anterior:
3, 3, 3, 4, 5, 8, 9, 9, 10

Las medidas de tendencia no central, son los cuartiles, los deciles y los percentiles.
Los cuartiles, son los valores que dividen al conjunto de datos, en cuartos.

1) El primer cuartil, se localiza en el 25%, y se halla con la fórmula de posicionamiento:

Por lo tanto, el primer cuartil ocupa el lugar: 2,5. Este valor se redondea, por lo cual buscaremos el valor de la variable que ocupe el lugar 3. El primer cuartil es el valor 3. Aquí coincide, lugar de posicionamiento, y valor de la variable.

2) El tercer cuartil, se localiza en el 75% y se calcula con la fórmula de posicionamiento:

Ocupa el lugar: 7,5 este valor se redondea a lugar 7; así el valor de la variable que ocupa el lugar 7 es: 9

El tercer cuartil es 9.

El segundo cuartil, no se suele calcular, pues coincide con la mediana, ya que es el valor que acumula el 50%.

Medidas de Tendencia Central: datos originales.

Recordemos que las medidas de tendencia central son la media , la moda y la mediana.



Cuando los datos son originales, no vienen agrupados en distribuciones de frecuencias, son por ejemplo:

5 , 8 , 3 , 3 ,3 , 9 , 10, 4 ,9



1) Cálculo de la media: recordemos que es un promedio

2) Cálculo de la moda: es el valor de la variable que se repite más veces.


En este caso, es el número 3





Moda=3





3) Y para el cálculo de la mediana, primero se deben ordenar los valores de la variable, de menor a mayor:





3, 3, 3, 4, 5, 8, 9, 9, 10 y luego usaremos la fórmula de posicionamiento:

Ahora buscamos el valor de la variable, que ocupe el lugar 5

La mediana es : X=5

Variables Cualitativas

Las variables cualitativas, son aquellas, que se dividen en categorías , por ello también se llaman atributos.

Pueden ser , nominales, u ordinales. La diferencia está , en que unas variables tienen las categorías ordenadas ( ordinales) , y otras variables, no guardan relación de orden entre sus categorías ( nominales).

Para las variables nominales, la única medida de posición que se puede calcular es la moda.

A las variables ordinales, le podemos calcular  la moda, la mediana, la primera y tercer cuartila, y por supuesto todos los percentiles, o deciles, que se requieran.

Plataformas e-learning

Las plataformas para educación a distancia, son varias, pero sin duda hay una, que se ha extendido más que las otras: Moodle , su uso está absolutamente generalizado por las universidades más destacadas, que ofrecen cursos a distancia.

Tal vez se deba , a su facilidad de manejo.Tanto para tutores como para los alumnos,tiene un funcionamiento muy intuitivo.

Además es una plataforma de  sofware libre.

Es una plataforma muy completa, foros, chats, actividades , etc.

Aprender a distancia

Aprender a distancia, es otra de las posibilidades que nos brinda Internet.

Ya no hay que estar en determinado sitio, a una hora en particular; puedes estar muy lejos de tu profesor,o del aula de clase, y sin embargo seguir siendo el primero de la clase!

Así de fascinante, se ha vuelto la experiencia de ser alumno. Las plataformas más utilizadas para e-learning , son Moodle,

Claroline, Dokeos, Atutor.

Son muy completas y se han convertido en aulas virtuales, tan parecidas a las aulas reales, que casi no hay diferencia.

E-learning

Los cursos que comenzarán próximamente, serán dictados únicamente en modalidad on line.

Algunos de ellos serán, relativos a Estadística Descriptiva, Estadística Inferencial, Matematica Financiera, Análisis micro y macro económico, y por supuesto no faltarán los cursos para aprender a graficar con MS Excel.

Serán cursos, de muy fácil comprensión, que no requieran de conocimientos previos.

Solo se requerirá muchas ganas de aprender!!

Cursos a distancia

Los cursos a distancia que desarrollaremos, serán relativos a temas de Economía y Negocios, y manejo de Excel.

Serán cursos estructurados en tres áreas:

Área estudiantes: estos son cursos, de apoyo a clases presenciales, para preparar exámenes finales, para aprender a graficar utilizando MS Excel.

Área profesionales: estos son cursos para toda persona que teniendo una titulación en el área de economía y negocios , requiera de nuevos conocimientos para complementar los ya adquiridos.

Área empresas: son cursos para capacitar, o actualizar a todo aquél que requiera de conocimientos en el área de economía y negocios.

Los cursos comenzarán en breve!!

Cursos on line

Los cursos a distancia han tenido un gran auge y aceptación, en los últimos tiempos.

Son de gran utilidad, ya sea como refuerzo de clases presenciales, como complemento a cursos, o simplemente como único recurso de aprendizaje.

Se adaptan a las necesidades , horarios, y disponibilidad de los alumnos. Cada quien puede tomar el curso en el horario que la resulte adecuado, y no por ello queda aislado del resto de sus compañeros de clase.

Las plataformas para los cursos on line, tienen foros y chats para intercambiar ideas, sugerencias y comentarios, entre los tutores y los alumnos, y entre los alumnos y sus compañeros de cursos.

Próximamente, comenzaremos los cursos on line!!

Números Índices: cambio de base

Muchas veces para la comparación de los números índices, necesitamos cambiar la base, en la cual están expresados.

Por este motivo la elección del año base se vuelve muy importante.

En general se deben tener en cuenta dos condiciones:

1) El año base elegido, debe ser un año donde la variable estudiada, haya tenido valores medianamente estables, o por lo menos que no se visualicen valores extremos.

2) Debe ser un año cercano al año en el cual se están realizando las comparaciones, o los cálculos de interés.

Ejercicio de Recta de Regresión

1) Calcular las medias de ambas variables:

2) Elaborar una tabla con los siguientes cálculos:

3) Aplicar las fórmulas, de "a" y de "b".

4) Finalmente, tenemos la recta de regresión:

Que te sea de mucha utilidad!!

Gracias por consultarnos!!

Recta de Regresión: ejercicios

Calcularemos la recta de regresión, con un ejercicio en concreto.

Supongamos que tenemos dos variables "X" e "Y" que toman los siguientes valores:

X: 4-2-5-6-3

Y: 15-8-21-24-17

Con estos números debemos:

1) Calcular las medias de ambas variables.

2) elaborar una tabla, para simplificar cálculos.

3) Aplicar las fórmulas de "a" y de "b".

Recta de Regresión: ejemplo

Ante las numerosas consultas recibidas sobre este tema, es que volvemos en este post a plantear un ejemplo de la recta de regresión.

Veremos la ecuación de la recta:

Observamos que necesitamos del cálculo de "a" (ordenada en el origen), y del cálculo de "b" ( pendiente de la recta).

Cada uno de estos parámetros tiene su fórmula:

Para el cálculo de "a" previamente, debemos tener calculado, las medias de ambas variables; la media de "X" y la media de "Y".

Interpolación de valores en tablas de probabilidades

Uno de nuestros lectores nos ha pedido, que realicemos una interpolación, de una tabla de probabilidades.

Suponemos que será la tabla de probabilidades de la distribución "t" de Student, pues la tabla de la distribución Normal no lleva grados de libertad.

Realizaremos el ejercicio con los datos ficticios que nos has enviado.

El procedimiento es el siguiente:

1) realizar 3 diferencias, sin importar el signo.
2) realizar una regla de tres.
3) sumar al número más pequeño, el valor hallado.
4) comprobar, que el resultado final, se encuentre entre 2, 80 y 2,95 lo que efectivamente ha sucedido, pues nos dio: 2,9350

Esperamos que te sea útil!!