Ejercicios:muestreo-muestras

Ejercicios.
1) Una población de tamaño N =345 , tiene una media de 3,8 y una desviación típica de 0, 45. Se toman muestras de tamaño n=6.
Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

2) La prevalencia de cierta enfermedad en una población es del 14%. Se toman muestras de tamaño 38. Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución del muestreo de proporciones.

3) Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una media, si se quiere una seguridad del 99%, y se conoce la desviación típica poblacional de 29. El error máximo que se puede cometer , no supera 4,6.

4) Calcular el tamaño de muestra de una proporción para que la seguridad de la estimación sea del 90%.El error no puede superar 0,24.

Tamaño de Muestra: ejercicio

Ejercicio:
Calcular el tamaño de muestra "n" necesario para estimar una media poblacional, si se quiere una seguridad del 95% (o nivel de significación del 5%) , una desviación típica poblacional de 150, y un error no mayor a 30.
La fórmula a utilizar es la siguiente:


Sustituyendo los valores indicados en el ejercicio, y recordando que para un nivel de significación del 5%, el valor de Z de la distribución Normal es 1,96 el tamaño de muestra nos da 96,04.

Siempre se redondea hacia arriba. Indicando que el tamaño de muestra debe ser mayor o igual que determinada cantidad.Si queremos disminuir el error a cometer, por ejemplo que sea la mitad del anterior:15
El tamaño de muestra debe ser de:

O sea que para reducir a la mitad el error a cometer al realizar el estudio, se debe aumentar significativamente el tamaño de la muestra en cuestión.

En este caso nos da una muestra 4 veces mayor.

Tamaño de Muestra para Medias

Determinar el tamaño de muestra "n" adecuado al hacer un estudio estadístico es muy importante. El tamaño de muestra difiere según que es el estudio que se realize sea de medias o de proporciones.

Para estimar el tamaño de muestra de medias se debe emplear la siguiente fórmula:n=tamaño de muestra

Z=valor de la distribución Normal

O=desviación típica de la población

e=error muestral.

Los valores de la distribución Normal dependen de los valores del nivel de significación que se quieran utilizar.

Por ejemplo:

Si el valor de significación es 1% , el valor de Z=2,58

Si el valor de significación es 5% , el valor de Z=1,96.

Si el valor de significación es 10%, el valor de Z=1,645.

Distribución Exponencial: ejercicio

Ejercicio:

El tiempo que tarda un tren en llegar a cierta estación puede modelarse por la distribución de probabilidad exponencial.

El parámetro es :

Calcularemos la probabilidad de que el tren tarde en llegar menos de 3 minutos:

Para ello aplicamos la fórmula de la función de distribución, con parámetro lambda igual a 0,2.

Realizamos cálculos
Y la probabilidad nos da 0, 4512.

Recordamos que la probabilidad siempre es un número que varía entre cero y uno.

Distribución de Probabilidad Exponencial: ejercicio

La variable aleatoria de la distribución de probabilidad exponencial indica el tiempo de espera hasta que se produce determinado suceso.

Supongamos que lo que tarda un tren en llegar a cierta estación se puede modelar por esta distribución y su parámetro es :

Calculamos la esperanza, o media:
Y la varianza:

Muestreo de Medias

Ejercicio:

1)Una población de N= 1200 objetos de metal, tienen una media de 23Kg. y una desviación típica de 6,8Kg.

Se realiza un muestreo, y se sacan muestras de tamaño n=34. Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

Según las fórmulas del muestreo con reposición:

Con los datos del ejercicio, los cálculos quedan de la siguiente manera:

Muestreo de Proporciones

La relación entre una muestra y la población de la cual fue extraida , se llama teoría de muestreo. El muestreo puede ser de "medias" o de "proporciones".

En el muestreo de proporciones, la población tiene una proporción poblacional (P); la muestra tiene una proporción muestral(p) y un tamaño de muestra(n).

El muestreo de proporciones proviene de la distribución Binomial, donde p+q=1.

Las fórmulas para la media y la desviación típica de la proporción muestral son las siguientes:

Esto indica que la media de la proporción muestral, es igual a la proporción poblacional.

La desviación típica de la proporción muestral , es igual a la raiz cuadrada de P*Q/n.

Por eso recordamos que proviene de la distribución Binomial,para realizar el cálculo de Q.

Teoría de Muestreo

La teoría de muestreo estudia la relación que hay entre una población y las muestras tomadas de ella.

Supongamos que tenemos una población de tamaño "N", y tomamos muestras de tamaño "n".

La población tendrá una media, una desviación típica y una varianza. A su vez las muestras también tendrán una media, una desviación típica y una varianza.
Si consideramos el estadístico "media muestral", también tendrá una media , una desviación típica y una varianza, que tendran relación con los parámetros de la población de la cual fueron extraídas las muestras.

Si el muestreo se hace con reposición las fórmulas son las siguientes:

Cuando el muestreo es sin reposición se debe agregar el "factor de corrección para poblacíón finita", que involucra el tamaño de la población (N) y el tamaño dela muestra (n).

Pero en esencia los cálculos son muy similares.

Muestreo Estratificado

Muestreo Estratificado:
Este muestreo se realiza cuando los elementos de la población se dividen en clases o estratos. Los elementos deben ser heterógeneos respecto a la variable que se está estudiando. Es un tipo de muestreo muy usado cuanto más diferentes sean los estratos entre sí, y cuanto más homogéneos sean los elementos al interior del estrato.
Si suceden esas 2 condiciones este tipo de muestreo se prefiere al Muestreo Aleatorio Simple.

El problema principal surge de dividir el tamaño de la muestra entre los estratos, o sea cuantos elementos de cada estrato debe contener la muestra en cuestión.

Para ello se puede distribuir los elementos en la muestra según el tamaño relativo del estrato. O sea que los estratos más grandes contribuyen con más elementos , y de los estratos más pequeños se obtienen menos elementos para formar la muestra.

Muestreo Sistemático

El muestreo sistemático se utiliza cuando los datos o elementos de la población están ordenados en listas.

Para realizar este muestreo se selecciona un elemento al azar entre el primer elemento y el que ocupa un lugar en la lista menor o igual al factor de elevación, y luego se completa la lista sumando el factor de elevación al primer elemento obtenido. Este procedimiento se realiza hasta completar el tamaño muestral.

Ejemplo:

N= 1000(tamaño de población) n=5(tamaño de muestra)

Factor de elevación :N/n=1000/5=20 esto significa que cada elemento de la muestra representa a 20 elementos de la población.

Podemos elegir un número al azar: 35 y luego al ir sumando 20 obtenemos los lugares de los 5 elementos que componen la muestra.

Primer elemento de la muestra: 35

Segundo elemento de la muestra: 35+20

Tercer elemento de la muestra: 35+20+20

Cuarto elemento de la muestra: 35+20+20+20

Quinto elemento de la muestra: 35+20+20+20+20

Entonces formamos la muestra con 5 elementos de la población que ocupan los lugares:

35, 55, 75, 95, 115.

Este muestreo es muy sencillo y similar al muestreo aleatorio simple. Tiene el inconveniente de que si los elementos de la población están ordenados según algún criterio, se puede originar un sesgo de selección.