Intervalo de Confianza -Ejercicio

Intervalo de Confianza para la Media Poblacional

Una variable tiene distribuciòn Normal desviaciòn tìpica poblacional 6. Se toma una muestra de tamaño 40, cuya media es igual a 26.
Construir el intervalo de confianza al 5% de nivel de significaciòn.
La fòrmula a utilizar es la siguiente:

Estas expresiones, son respectivamente:

Límite inferior Error de estimaciòn Limite superior

Ahora sustituimos por los valores:

La media muestral es 26, la desviaciòn tìpica poblacional es 6. Y el valor de la distribuciòn "Z" es el correspondiente al 5% de nivel de significaciòn, o sea z=1,96.

Realizando los càlculos, nos queda el error de estimaciòn= 1,86.

El lìmite inferior= 24,14 Y el lìmite superior=27,86

O sea que tenemos una probabilidad del 95% de que el parámetro poblacional desconocido, se encuentre entre 24,14 y 27,86.

Intervalo de Confianza

El intervalo de confianza para la media poblacional, cuando el tamaño de muestra es mayor o igual a 30, o cuando se conoce la varianza poblacional, o la desviaciòn tìpica poblacional, se debe calcular con la Distribuciòn de probabilidad Normal.

La fòrmula a utilizar es la siguiente:

Donde:

n= tamaño de muestra

El nivel de significaciòn, nos indicarà el valor de la distribuciòn "Z". Generalmente se utilizan los tres casos siguientes:

Si el nivel es 1%------Z=2,58

Si el nivel es 5%------Z=1,96

Si el nivel es 10%-----Z=1,645

Estimaciòn-Estadìstica Inferencial

La Estadìstica Inferencial, se ocupa de estimar los paràmetros de la poblaciòn , a partir de los estadìsticos muestrales.

Para estimar hay varios procedimientos. Uno de ellos es la estimaciòn por intervalos de confianza.

Aquì lo que corresponde es dar un intervalo, un rango de variaciòn, donde presumiblemente , o prbablemente se hallen los paràmetros poblacionales.

Los intervalos de confianza, se calculan para la media poblacional, para la proporciòn poblacional, para la varianza poblacional. Y tambièn para diferencias de medias o diferencias de proporciones.

Hay que tener claro cual es la distribuciòn de probabilidad a utilizar. Por ejemplo , si estamos calculando un intervalo de confianza para la media poblacional, podrìamos utilizar la distribuciòn "Z" ( Distribuciòn Normal) o la distribuciòn "t" (Distribuciòn Student).

Cuando el tamaño de muestra es mayor o igual a 30, corresponde utilizar la Distribuciòn Normal. También utilizamos esta distribuciòn si conocemos la varianza poblacional, o la desviaciòn tìpica poblacional.

Para utilizar la Distribuciòn "t" de Student, tiene que darse 2 condiciones:

1) El tamaño de muestra debe ser menor a 30.

2) Desconocer la varianza poblacional, o desviaciòn tìpica poblacional.

Media - Varianza-Desviaciòn Tìpica

Ejercicio:

Con los siguientes datos: 10-12-3-5-8-10-7-12- calcularemos medidas de posiciòn ( la media), y medidas de disperciòn (la varianza, y el desvìo tìpico)


Comenzamos por la media: Sumamos todos los valores y los dividimos entre el tamaño de muestra: n=8

Ahora calculamos la varianza:

A cada observaciòn le restamos la media, y luego lo elevamos al cuadrado, para que no se compensen las diferencias positivas con las negativas.

Si algùn valor se repite como es el caso del 10, y el 12, podemos multiplicar por la frecuencia correspondiente.

Y para calcular la desviaciòn tìpica o estàndar, realizamos la raìz cuadrada de la varianza.

Muestreo de Medias: ejercicios

Realizaremos un ejercicio con los datos del post anterior. El tamaño de la población es N=250, el tamaño de la muestra es n=6 , la media de la población es 3, 8 y la desviación típica de la población es o,45.
Calcular la media, la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.




La media del muestreo de medias, es igual a la media poblacional:

La desviación típica del muestreo de medias, es igual a la desviación típica de la población dividido la raíz cuadrada del tamaño de muestra:

Y la varianza del muestreo de medias la calculamos elevando al cuadrado la desviación típica:

Ejercicios:muestreo-muestras

Ejercicios.
1) Una población de tamaño N =345 , tiene una media de 3,8 y una desviación típica de 0, 45. Se toman muestras de tamaño n=6.
Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

2) La prevalencia de cierta enfermedad en una población es del 14%. Se toman muestras de tamaño 38. Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución del muestreo de proporciones.

3) Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una media, si se quiere una seguridad del 99%, y se conoce la desviación típica poblacional de 29. El error máximo que se puede cometer , no supera 4,6.

4) Calcular el tamaño de muestra de una proporción para que la seguridad de la estimación sea del 90%.El error no puede superar 0,24.

Tamaño de Muestra: ejercicio

Ejercicio:
Calcular el tamaño de muestra "n" necesario para estimar una media poblacional, si se quiere una seguridad del 95% (o nivel de significación del 5%) , una desviación típica poblacional de 150, y un error no mayor a 30.
La fórmula a utilizar es la siguiente:


Sustituyendo los valores indicados en el ejercicio, y recordando que para un nivel de significación del 5%, el valor de Z de la distribución Normal es 1,96 el tamaño de muestra nos da 96,04.

Siempre se redondea hacia arriba. Indicando que el tamaño de muestra debe ser mayor o igual que determinada cantidad.Si queremos disminuir el error a cometer, por ejemplo que sea la mitad del anterior:15
El tamaño de muestra debe ser de:

O sea que para reducir a la mitad el error a cometer al realizar el estudio, se debe aumentar significativamente el tamaño de la muestra en cuestión.

En este caso nos da una muestra 4 veces mayor.

Tamaño de Muestra para Medias

Determinar el tamaño de muestra "n" adecuado al hacer un estudio estadístico es muy importante. El tamaño de muestra difiere según que es el estudio que se realize sea de medias o de proporciones.

Para estimar el tamaño de muestra de medias se debe emplear la siguiente fórmula:n=tamaño de muestra

Z=valor de la distribución Normal

O=desviación típica de la población

e=error muestral.

Los valores de la distribución Normal dependen de los valores del nivel de significación que se quieran utilizar.

Por ejemplo:

Si el valor de significación es 1% , el valor de Z=2,58

Si el valor de significación es 5% , el valor de Z=1,96.

Si el valor de significación es 10%, el valor de Z=1,645.

Distribución Exponencial: ejercicio

Ejercicio:

El tiempo que tarda un tren en llegar a cierta estación puede modelarse por la distribución de probabilidad exponencial.

El parámetro es :

Calcularemos la probabilidad de que el tren tarde en llegar menos de 3 minutos:

Para ello aplicamos la fórmula de la función de distribución, con parámetro lambda igual a 0,2.

Realizamos cálculos
Y la probabilidad nos da 0, 4512.

Recordamos que la probabilidad siempre es un número que varía entre cero y uno.

Distribución de Probabilidad Exponencial: ejercicio

La variable aleatoria de la distribución de probabilidad exponencial indica el tiempo de espera hasta que se produce determinado suceso.

Supongamos que lo que tarda un tren en llegar a cierta estación se puede modelar por esta distribución y su parámetro es :

Calculamos la esperanza, o media:
Y la varianza: