Cálculo del Indice de Gini

Una de las fórmulas para calcular el Indice de Gini, es la vista anteriormente.

Utilizaremos los datos del cuadro del post anterior, para realizar un ejemplo.

Como podemos observar, las sumatorias, van desde 1 hasta "n-1", lo que significa que el último número no se suma.

Debemos realizar la suma de pi*:50+85=135

Debemos realizar la suma de qi*:34,88+75,58=110,46

Ahora realizamos la división:qi*/pi*=110,46/135=0,82

Y finalmente, para obtener el Indice de Gini: 1-0,82=0,18

I.G.=0,18

El Indice de Gini, es un número abstracto, varía solamente, entre 0 y 1.

Cuanto más cerca de cero se encuentra, la distribución de los ingresos, es más equitativa.

Cuanto más cerca de uno, nos dé el índice, más concentrados están los ingresos.

En este caso, podemos decir que la concentación es muy débil.

Curva de Lorenz: ejercicio

Supongamos , un país, que solo tiene 3 tramos de ingresos(x),y sus correspondientes tramos de población (pi).
Comenzamos, calculando la marca de clase(xc):sumamos el límite inferior y el límite superior de cada intervalo, y lo dividimos entre 2.

Para calcular pi*, acumulamos los porcentajes, que nos dió, la letra del ejercicio, sumamos y obtenemos 100%.

En la columna xc(pi) multiplicamos, los valores correspondientes (la columna xc por la columna pi), y luego sumamos todos los valores.

Para obtener la columna qi, dividimos cada valor de la columna
xc(pi), por el total, y multiplicamos por 100 : 750/2150=34,09
875/2150=40,70
525/2150=24,42

Y la última columna :qi* se obtiene acumulando la columna qi; también debe totalizar 100%.

Para graficar la Curva de Lorenz, basta con colocar en el eje de las "X" los valores de "pi*", y en el eje de las "Y" los valores de"qi*".

Curva de Lorenz: graficarla.

Para graficar la curva de Lorenz, debemos realizar, una tabla con frecuencias, que generen las dos distribuciones acumuladas, pi(porcentaje de población) y qi (porcentaje de ingresos).

Recordemos que ambos porcentajes, deben sumar 100%.

En el eje "X" colocaremos los valores de la población, y en el eje "Y" colocaremos los valores del ingreso.

En los ejercicios, los valores de la población, pueden venir dados, como totales de la población de una ciudad, país,o región, o como porcentajes.

Y los valores de los ingresos, rentas o salarios, pueden venir dados, como valores absolutos(5000) o como valores dentro de un intervalo(1000-2000), en cuyo caso deberemos hallar la marca de clase.

Covarianza

La covarianza, es la variación conjunta de las dos variables estudiadas, la "X" y la "Y".

En su cálculo se incluyen las medias de las dos variables .

La covarianza , no tiene un rango de variación, y se expresa en las unidades de medida de las variables.

O sea que si cambiamos las unidades de medida , la covarianza cambiará,ocasionando ésto una interpretación diferente de la asociación de las variables.

Es por ello que se utiliza el coeficiente de correlación, (tambíen llamado "r" de Pearson) pues no depende de las unidades de medida.

Coeficiente de Correlación

El Coeficiente de Correlación, nos indica el grado que tiene la relación entre dos variables cuantitativas.

Sus valores pueden variar solamente, entre -1 y +1.

Y al igual que los otros coeficientes de asociación, al acercarse a 1, indica una relación más fuerte entre las variables estudiadas.

Cuando el valor se acerca a cero, indica falta de asociación, o correlación muy débil.

Como podemos observar en la fórmula, depende de la covarianza, y de las desviaciones típicas de la variable"X" y de la variable"Y".

Como las desviaciones típicas o estándar, son siempre positivas, el coeficiente de correlación, tendrá el mismo signo de la covarianza.

Diagrama de Dispersión.

El Diagrama de Dispersión, también llamado "nube de puntos", nos permite ver gráficamente, como es la asociación de dos variables cuantitativas.

Puede tomar las formas vistas anteriormente.

En el Diagrama I, se observa una tendencia creciente de la nube de puntos, por lo que se dice que cuando crece la variable "X" , también crece la variable "Y".

En el Diagrama II, cuando crece la varible "X", se dice que decrece la variable "Y".

En el Diagrama III, diríamos que no hay una relación entre las variables "X" e "Y".

Análisis de Correlación

El análisis de correlación, se utiliza para visualizar la asociación entre las variables cuantitativas.

Se puede visualizar mediante un gráfico o mediante un número.

Mediante un gráfico, es cuando se traza el Diagrama de Dispersión, que puede tomar diferentes formas.

Se grafican, los valores observados de la variable"X" y de la variable "Y", en un par de ejes, y nos queda lo que se llama "nube de puntos".

Siempre se debe decidir, cual es la variable independiente"X", y la variable dependiente"Y".

Mediante un número, es cuando se calcula el Coeficiente de Correlación.

Es un número que solo varía entre -1 y +1.

Cuanto más cerca de cero, más independientes son las variables, y cuando se acerca a +1 o -1, la asociación entre las variables se torna más fuerte.

Coeficiente de asociación: Tau-a

Otro de los coeficientes de asociación de variables cualitativas ordinales, es el coeficiente Tau-a.

Puede tomar números entre -1 y +1, y como todos los coeficientes de asociación, la cercanía del cero implica independencia , o asociación débil.

Para este cálculo también se define una variable dependiente"Y", y otra variable independiente"X".

Variable Ordinal: Coeficiente Gamma

Entre los coeficientes de asociación para las variables cualitativas, está el Coeficiente Gamma.

Este coeficiente resulta, de la división de dos números ,que se obtienen al restar y sumar otros dos números( ns y nd) hallados con las fórmulas vistas más arriba.

Al trabajar con variables cualitativas ordinales, siempre se debe definir cual variable es la independiente(X) y cual es la variable dependiente(Y).

O sea que la "Y" depende de la "X", o lo que es lo mismo la variable "Y" se ve afectada por los cambios de la variable "X".

Cuanto afecta esos cambios a la variable "Y" dependerá del grado de asociación que tengan las variables.
El grado de asociación, se observa con un número, que varía entre -1 y +1.

Cuanto más próximo a cero esté el coeficiente Gamma más débil es la asociación entre las variables estudiadas.

Cuanto más próximo a -1 esté el coeficiente Gamma, indicará que al crecer"X" disminuye "Y".

Cuanto más próximo a +1 esté el coeficiente Gamma, indicará que al crecer la "X", también crecerá la "Y".

Coeficientes de asociación: variables ordinales.

Los coeficientes de asociación de las variables ordinales, son diferentes de los coeficientes de las variables nominales, aunque ambas sean variables cualitativas.

Recordemos que las variables cualitativas ordinales son aquéllas, cuyas categorías están ordenadas.

Los coeficientes más usados para saber la asociación de estas variables son:

1) Coeficiente Gamma.

2) Coeficiente Tau-a.

3) Coeficiente Tau-c.

Estos coeficientes tienen la particularidad de que los tres varían entre -1 y +1; o sea que pueden tomar valores negativos.

Pero todos ellos , a medida que se acercan a cero indican falta de asociación entre las variables estudiadas.

Si están póximos a -1, indican que al crecer una variable, la otra variable decrece.

Si están próximos a +1, indican que al crecer una variable, la otra variable también crece.

También tienen en común, estos coeficientes, que hay que definir una variable independiente (X), y otra variable dependiente(Y).