Muestreo de Medias

Ejercicio:

1)Una población de N= 1200 objetos de metal, tienen una media de 23Kg. y una desviación típica de 6,8Kg.

Se realiza un muestreo, y se sacan muestras de tamaño n=34. Calcular la media , la desviación típica y la varianza de la distribución en el muestreo de medias.

Según las fórmulas del muestreo con reposición:

Con los datos del ejercicio, los cálculos quedan de la siguiente manera:

Muestreo de Proporciones

La relación entre una muestra y la población de la cual fue extraida , se llama teoría de muestreo. El muestreo puede ser de "medias" o de "proporciones".

En el muestreo de proporciones, la población tiene una proporción poblacional (P); la muestra tiene una proporción muestral(p) y un tamaño de muestra(n).

El muestreo de proporciones proviene de la distribución Binomial, donde p+q=1.

Las fórmulas para la media y la desviación típica de la proporción muestral son las siguientes:

Esto indica que la media de la proporción muestral, es igual a la proporción poblacional.

La desviación típica de la proporción muestral , es igual a la raiz cuadrada de P*Q/n.

Por eso recordamos que proviene de la distribución Binomial,para realizar el cálculo de Q.

Teoría de Muestreo

La teoría de muestreo estudia la relación que hay entre una población y las muestras tomadas de ella.

Supongamos que tenemos una población de tamaño "N", y tomamos muestras de tamaño "n".

La población tendrá una media, una desviación típica y una varianza. A su vez las muestras también tendrán una media, una desviación típica y una varianza.
Si consideramos el estadístico "media muestral", también tendrá una media , una desviación típica y una varianza, que tendran relación con los parámetros de la población de la cual fueron extraídas las muestras.

Si el muestreo se hace con reposición las fórmulas son las siguientes:

Cuando el muestreo es sin reposición se debe agregar el "factor de corrección para poblacíón finita", que involucra el tamaño de la población (N) y el tamaño dela muestra (n).

Pero en esencia los cálculos son muy similares.

Muestreo Estratificado

Muestreo Estratificado:
Este muestreo se realiza cuando los elementos de la población se dividen en clases o estratos. Los elementos deben ser heterógeneos respecto a la variable que se está estudiando. Es un tipo de muestreo muy usado cuanto más diferentes sean los estratos entre sí, y cuanto más homogéneos sean los elementos al interior del estrato.
Si suceden esas 2 condiciones este tipo de muestreo se prefiere al Muestreo Aleatorio Simple.

El problema principal surge de dividir el tamaño de la muestra entre los estratos, o sea cuantos elementos de cada estrato debe contener la muestra en cuestión.

Para ello se puede distribuir los elementos en la muestra según el tamaño relativo del estrato. O sea que los estratos más grandes contribuyen con más elementos , y de los estratos más pequeños se obtienen menos elementos para formar la muestra.

Muestreo Sistemático

El muestreo sistemático se utiliza cuando los datos o elementos de la población están ordenados en listas.

Para realizar este muestreo se selecciona un elemento al azar entre el primer elemento y el que ocupa un lugar en la lista menor o igual al factor de elevación, y luego se completa la lista sumando el factor de elevación al primer elemento obtenido. Este procedimiento se realiza hasta completar el tamaño muestral.

Ejemplo:

N= 1000(tamaño de población) n=5(tamaño de muestra)

Factor de elevación :N/n=1000/5=20 esto significa que cada elemento de la muestra representa a 20 elementos de la población.

Podemos elegir un número al azar: 35 y luego al ir sumando 20 obtenemos los lugares de los 5 elementos que componen la muestra.

Primer elemento de la muestra: 35

Segundo elemento de la muestra: 35+20

Tercer elemento de la muestra: 35+20+20

Cuarto elemento de la muestra: 35+20+20+20

Quinto elemento de la muestra: 35+20+20+20+20

Entonces formamos la muestra con 5 elementos de la población que ocupan los lugares:

35, 55, 75, 95, 115.

Este muestreo es muy sencillo y similar al muestreo aleatorio simple. Tiene el inconveniente de que si los elementos de la población están ordenados según algún criterio, se puede originar un sesgo de selección.

Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.)

Diseños de Muestreo se le llama al conjunto de técnicas para seleccionar una muestra probabilística.

Los diseños pueden ser variados, muestreo estratificado, muestreo sistemático, muestreo por conglomerados y muestreo aleatorio simple.

El muestreo aleatorio simple, es aquél que tiene estas dos condiciones:
a) cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. Con esta condición se está evitando el riesgo del sesgo de selección.
b) los elementos se seleccionan de uno en uno y con reposición, lo que asegura que la población permanece igual en todas las extraciones.

Que la extracción de la muestra se realice con o sin reposición pierde importancia cuando el tamaño de la población es muy grande (N) con respecto al tamaño de la muestra (n).

Este procedimiento de muestreo es recomendado cuando todos los elementos de la población son muy similares o son sustituibles o intercambiables unos con otros.

Población y Muestra: conceptos

POBLACIÓN: es el conjunto objeto de estudio.

Puede estar compuesto por personas , objetos o animales. Es un conjunto grande , numeroso, del cual se quiere extraer algunas conclusiones.

A todo lo que se estudia en la población se le llama "parámetros". Para conocer con exactitud los valores de los parámetros poblacionales, hay que hacer un censo.

Muchas veces esto no es posible, ya sea porque debido al tamaño de la población , económicamente resulta muy costoso. O también porque analizar cada elemento de la población puede resultar en la destrucción de alguno, o algunos de ellos. O incluso por el tiempo insumido en el análisis exaustivo de cada elemento , que puede llevar a que cambie la característica del elemento estudiado a lo largo del análisis de cada elemento.

MUESTRA: es un subconjunto de la población. Es un conjunto pequeño pero representativo de todos los elementos que hay en la población.

Todo lo que se estudia en la muestra se llama "estadístico" . Para que el estudio realizado sea confiable, la muestra tiene que estar bien sacada.

Todos los elementos importantes de la población deben estar representados en la muestra; sino el estudio que se realiza no tendrá validez.

Si la muestra no es representativa, se dice que está sesgada. Los sesgos en el muestreo pueden ser.

a) sesgos de no respuesta: es cuando las personas simpatizantes de una misma idea o concepto, no responden.

b) sesgos de selección: es cuando algunos elementos de la población tienen mayor probabilidad de estar en la muestra, que otros elementos.

En ambos casos la muestra no sería representativa, y los resultados de la investigación estadística, no serían confiables.

Para extraer la muestra hay varios procedimientos:

a) Muestreo Aleatorio Simple.

b) Muestreo Sistemático

c) Muestreo Estratificado.

d) Muestreo por Conglomerados.

La estadística descriptiva estudia la muestra. La estadística inferencial estudia la población

Ejercicio: agrupar datos en intervalos

Siguiendo con el ejemplo anterior, agruparemos los siguientes datos, en intervalos:

2,2,2,10,10,10,8,8,8,4,4,4,6,6,6,6,7,7,14,14, n=20

Lo primero es determinar la cantidad de intervalos. Utilizaremos las dos opciones que tenemos:

A)Raiz de "n".

Aproximando nos daría 5 intervalos:

B)Fórmula de Sturges.

Aproximando, también nos da 5 intervalos:

Ahora hallaremos la amplitud de los intervalos:

La amplitud, si puede ser un número decimal. En este caso resolvimos aproximar a 2,5.
Por lo tanto comenzamos con el valor más pequeño: 2 y luego le vamos sumando 2,5 para obtener el límite superior del intervalo. Así continuamos hasta completar los 5 intervalos en los que agrupamos a la variable.

Para realizar la tabla de frecuencias contamos cuantas observaciones caen dentro de cada intervalo.

Y quedó pronto el ejercicio, para comenzar con los cálculos de las medidas de resumen de la variable en estudio.

Agrupar Datos en Intervalos

En este post indicaremos como agrupar los datos originales, que hemos recogido de las encuestas.

Sería el caso por ejemplo de tener las siguientes observaciones:



2,2,2, 10,10,10,8,8,8,4,4,4,6,6,6,6, 7,7,14,14




1) Lo primero es hallar la cantidad de intervalos en los que vamos a agrupar los valores. Para ello tenemos dos alternativas:




a) número de intervalos:












b) número de intervalos:






2) Debemos hallar la amplitud o rango de los intervalos hallados:


La fórmula a utilizar es la siguiente:




Una vez que tenemos resuelto el número de intervalos en el que vamos a agrupar los datos, usamos ese valor para el denominador de la fórmula de la amplitud de los intervalos.

Recordar: que el número de intervalos no puede ser un número decimal. Siempre debe ser un número entero. En cambio la amplitud sí puede ser número decimal.

Con la práctica vamos viendo como aproximar los números para que ninguna observación quede fuera del rango total de los intervalos.

Distribución de Probabilidad Exponencial

La distribución de probabilidad EXPONENCIAL, tiene la variable aleatoria "X" que expresa el tiempo de espera hasta que se produce cierto suceso.

La función de densidad es la siguiente:

Tiene un solo parámetro: lambda, que a su vez está en la media y en la varianza.

Importante: la exponencial no tiene memoria.

Significa que si queremos calcular la probabilidad de que una máquina esté funcionando "x" cantidad de horas, será lo mismo que si calculamos la probabilidad de que la máquina funcione "x" cantidad de horas sabiendo que ya estuvo funcionando "y" cantidad de horas.

La media de la distribución Exponencial es:

La varianza de la distribución Exponencial es:

Y como siempre, si queremos la desviación típica o estándar, basta con calcular la raíz cuadrada de la varianza.